Наука. Культура. Нравственность. Мейдер В.А. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

36
ïðåäëîæåííîãî êîëè÷åñòâà ïåðâûõ ÷èñåë». «Ïåðâîå ÷èñëî» (òî
åñòü ïðîñòîå ÷èñëî), ïî Åâêëèäó, åñòü ÷èñëî, «èçìåðÿåìîå òîëü-
êî åäèíèöåé», à èíà÷å ãîâîðÿ, êîòîðîå äåëèòñÿ íà åäèíèöó è
íà ñàìîãî ñåáÿ.
Íèêòî íå ñîìíåâàåòñÿ â èñòèííîñòè ýòîé òåîðåìû Åâêëè-
äà, à åãî îðèãèíàëüíûì äîêàçàòåëüñòâîì ïîëüçóþòñÿ è â íàøè
äíè. Ìû âîñïðîèçâåäåì äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ïðåäëîæåíèÿ ìå-
òîäîì Åâêëèäà, çàìåíèâ ëèøü åãî ÷èñëà — îòðåçêè À, Â, Ñ, ¾
íà ïðîñòûå ÷èñëà Ð
1
, Ð
2
, Ð
3
, ¾ . Äîêàçàòåëüñòâî âåäåòñÿ ìåòî-
äîì «îò ïðîòèâíîãî», òî åñòü ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî èìååòñÿ êî-
íå÷íîå ÷èñëî ïðîñòûõ ÷èñåë.
Èòàê, äîïóñòèì, ÷òî èìååòñÿ êîíå÷íîå ÷èñëî âñåõ ïðîñòûõ
÷èñåë, îáîçíà÷åííûõ Ð
1
, Ð
2
, Ð
3
, ¾, Ð
ê
, ãäå k — íåêîòîðîå íàòó-
ðàëüíîå ÷èñëî. Ðàññìîòðèì íàòóðàëüíîå ÷èñëî N, ïîëó÷åííîå
îò ïåðåìíîæåíèÿ âñåõ ïðîñòûõ ÷èñåë è ïðèáàâëåíèÿ åäèíèöû,
òî åñòü N=Ð
1
·Ð
2
·Ð
3
·¾·Ð
ê
+1. Îòíîñèòåëüíî N ìîæíî ñêà-
çàòü, ÷òî îíî ÷èñëî ëèáî ïðîñòîå, ëèáî ñîñòàâíîå.
Ïóñòü îíî áóäåò ïðîñòîå. Òîãäà íàìè íàéäåíî íîâîå ïðî-
ñòîå ÷èñëî, áîëüøå ëþáîãî âçÿòîãî ðàíåå. À ýòî ïðîòèâîðå÷èò
íàøåìó èñõîäíîìó ïðåäïîëîæåíèþ î òîì, ÷òî âçÿòû âñå ïðî-
ñòûå ÷èñëà, è òåì ñàìûì äîêàçûâàåò òåîðåìó Åâêëèäà.
Åñëè æå N ñîñòàâíîå, òî îíî äîëæíî äåëèòüñÿ õîòÿ áû íà
îäíî èç ÷èñåë Ð
1
, Ð
2
, Ð
3
, ¾, Ð
ê
, èáî äðóãèõ ïðîñòûõ ÷èñåë íåò.
Íî îíî íå äåëèòñÿ íè íà îäíî èç íèõ, ïîñêîëüêó ïðè äåëåíèè,
ñêàæåì, íà Ð
1
ìû ïîëó÷èì ÷àñòíîå Ð
2
·Ð
3
·¾·Ð
ê
è îñòàòîê 1; ïðè
äåëåíèè íà Ð
2
— ÷àñòíîå Ð
1
·Ð
3
·¾Ð
ê
è îñòàòîê ñíîâà 1, è ò. ä.
Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîñòðîèëè ñîñòàâíîå ÷èñëî N, íå äå-
ëÿùååñÿ íè íà îäíî èç ïðîñòûõ ÷èñåë. À ýòî ïðîòèâîðå÷èò «Ïðåä-
ëîæåíèþ 31» êíèãè VII Åâêëèäà: «Âñÿêîå ñîñòàâíîå ÷èñëî èç-
ìåðÿåòñÿ êàêèì-òî ïåðâûì ÷èñëîì». Âíîâü ïîëó÷åííîå ïðîòè-
âîðå÷èå ïîêàçûâàåò, ÷òî äîïóùåíèå ñóùåñòâîâàíèÿ êîíå÷íîãî
÷èñëà ïðîñòûõ ÷èñåë ëîæíî. Òåì ñàìûì äîêàçàíî, ÷òî ÷èñëî
ïðîñòûõ ÷èñåë áåñêîíå÷íî.
Èíòåðåñíî çàìåòèòü, ÷òî òåîðåìà î áåñêîíå÷íîñòè ÷èñëà
ïðîñòûõ ÷èñåë îñòàâàëàñü âïëîòü äî XIX âåêà åäèíñòâåííûì
ñòðîãî óñòàíîâëåííûì ðåçóëüòàòîì, âûðàæàþùèì çàêîí ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ ïðîñòûõ ÷èñåë.
Âîçâðàùàÿñü ê Åâêëèäó, ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî åãî ìà-
òåìàòè÷åñêîå ñî÷èíåíèå äîëãîå âðåìÿ ïðåäñòàâëÿëî îáðàçåö
ïðåäëîæåííîãî êîëè÷åñòâà ïåðâûõ ÷èñåë». «Ïåðâîå ÷èñëî» (òî
åñòü ïðîñòîå ÷èñëî), ïî Åâêëèäó, åñòü ÷èñëî, «èçìåðÿåìîå òîëü-
êî åäèíèöåé», à èíà÷å ãîâîðÿ, êîòîðîå äåëèòñÿ íà åäèíèöó è
íà ñàìîãî ñåáÿ.
      Íèêòî íå ñîìíåâàåòñÿ â èñòèííîñòè ýòîé òåîðåìû Åâêëè-
äà, à åãî îðèãèíàëüíûì äîêàçàòåëüñòâîì ïîëüçóþòñÿ è â íàøè
äíè. Ìû âîñïðîèçâåäåì äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ïðåäëîæåíèÿ ìå-
òîäîì Åâêëèäà, çàìåíèâ ëèøü åãî ÷èñëà — îòðåçêè À, Â, Ñ, ¾
íà ïðîñòûå ÷èñëà Ð1, Ð2, Ð3, ¾ . Äîêàçàòåëüñòâî âåäåòñÿ ìåòî-
äîì «îò ïðîòèâíîãî», òî åñòü ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî èìååòñÿ êî-
íå÷íîå ÷èñëî ïðîñòûõ ÷èñåë.
      Èòàê, äîïóñòèì, ÷òî èìååòñÿ êîíå÷íîå ÷èñëî âñåõ ïðîñòûõ
÷èñåë, îáîçíà÷åííûõ Ð1, Ð2, Ð3, ¾, Ðê, ãäå k — íåêîòîðîå íàòó-
ðàëüíîå ÷èñëî. Ðàññìîòðèì íàòóðàëüíîå ÷èñëî N, ïîëó÷åííîå
îò ïåðåìíîæåíèÿ âñåõ ïðîñòûõ ÷èñåë è ïðèáàâëåíèÿ åäèíèöû,
òî åñòü N = Ð1 · Ð2 · Ð3 · ¾ · Ðê + 1. Îòíîñèòåëüíî N ìîæíî ñêà-
çàòü, ÷òî îíî ÷èñëî ëèáî ïðîñòîå, ëèáî ñîñòàâíîå.
      Ïóñòü îíî áóäåò ïðîñòîå. Òîãäà íàìè íàéäåíî íîâîå ïðî-
ñòîå ÷èñëî, áîëüøå ëþáîãî âçÿòîãî ðàíåå. À ýòî ïðîòèâîðå÷èò
íàøåìó èñõîäíîìó ïðåäïîëîæåíèþ î òîì, ÷òî âçÿòû âñå ïðî-
ñòûå ÷èñëà, è òåì ñàìûì äîêàçûâàåò òåîðåìó Åâêëèäà.
      Åñëè æå N ñîñòàâíîå, òî îíî äîëæíî äåëèòüñÿ õîòÿ áû íà
îäíî èç ÷èñåë Ð1, Ð2, Ð3, ¾, Ðê, èáî äðóãèõ ïðîñòûõ ÷èñåë íåò.
Íî îíî íå äåëèòñÿ íè íà îäíî èç íèõ, ïîñêîëüêó ïðè äåëåíèè,
ñêàæåì, íà Ð1 ìû ïîëó÷èì ÷àñòíîå Ð2 · Ð3 · ¾ · Ðê è îñòàòîê 1; ïðè
äåëåíèè íà Ð2 — ÷àñòíîå Ð1 · Ð3 · ¾ Ðê è îñòàòîê ñíîâà 1, è ò. ä.
      Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîñòðîèëè ñîñòàâíîå ÷èñëî N, íå äå-
ëÿùååñÿ íè íà îäíî èç ïðîñòûõ ÷èñåë. À ýòî ïðîòèâîðå÷èò «Ïðåä-
ëîæåíèþ 31» êíèãè VII Åâêëèäà: «Âñÿêîå ñîñòàâíîå ÷èñëî èç-
ìåðÿåòñÿ êàêèì-òî ïåðâûì ÷èñëîì». Âíîâü ïîëó÷åííîå ïðîòè-
âîðå÷èå ïîêàçûâàåò, ÷òî äîïóùåíèå ñóùåñòâîâàíèÿ êîíå÷íîãî
÷èñëà ïðîñòûõ ÷èñåë ëîæíî. Òåì ñàìûì äîêàçàíî, ÷òî ÷èñëî
ïðîñòûõ ÷èñåë áåñêîíå÷íî.
      Èíòåðåñíî çàìåòèòü, ÷òî òåîðåìà î áåñêîíå÷íîñòè ÷èñëà
ïðîñòûõ ÷èñåë îñòàâàëàñü âïëîòü äî XIX âåêà åäèíñòâåííûì
ñòðîãî óñòàíîâëåííûì ðåçóëüòàòîì, âûðàæàþùèì çàêîí ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ ïðîñòûõ ÷èñåë.
      Âîçâðàùàÿñü ê Åâêëèäó, ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî åãî ìà-
òåìàòè÷åñêîå ñî÷èíåíèå äîëãîå âðåìÿ ïðåäñòàâëÿëî îáðàçåö

36

Страницы