Наука. Культура. Нравственность. Мейдер В.А. - 61 стр.

ìíîæåñòâ», «óïîðÿäî÷åííîñòü ìíîæåñòâ» è äðóãèõ; óñòàíîâëå-
íèå ìåæäó íèìè ñîîòíîøåíèé; ñîçäàíèå íîâûõ òåîðåòè÷åñêèõ
ìåòîäîâ èññëåäîâàíèÿ.
     Èçâåñòíî, ÷òî ñàì Ã. Êàíòîð, ïîñòàâèâ âîïðîñ «Äëÿ ÷åãî
ìàòåìàòèêå êîíöà XIX âåêà íåîáõîäèìî áûëî îáùåå ó÷åíèå î
ìíîæåñòâàõ?», îòâå÷àë: äëÿ îáîñíîâàíèÿ àðèôìåòèêè äåéñòâè-
òåëüíûõ ÷èñåë, äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ôóíäàìåíòàëüíûõ òåîðåì
ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà è òåîðèè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ðÿäîâ.
Ê ýòèì ðàçäåëàì ìîæíî ïðèñîåäèíèòü àëãåáðó, ïðîåêòèâíóþ
ãåîìåòðèþ, äèôôåðåíöèàëüíîå è èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå,
òåîðèþ ðÿäîâ è äðóãèå. Äåéñòâèòåëüíî, òåîðèÿ ìíîæåñòâ ïî-
çâîëèëà ïîäâåñòè ôóíäàìåíò ïîä ó÷åíèå î äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñ-
ëàõ, à ñëåäîâàòåëüíî, è ïîä ôóíäàìåíò ìàòåìàòè÷åñêîãî àíà-
ëèçà. È íå ñëó÷àéíî À. Ïóàíêàðå íà II Ìåæäóíàðîäíîì êîíã-
ðåññå ìàòåìàòèêîâ (Ïàðèæ, 1900 ã.) îòìåòèë, ÷òî «íûíå äîñ-
òèãíóòà ïîëíàÿ ñòðîãîñòü». Òåîðèÿ ìíîæåñòâ èçìåíèëà ïðåä-
ñòàâëåíèÿ î ïðåäìåòå àëãåáðû, êîòîðàÿ ñòàëà íàóêîé îá àëãåá-
ðàè÷åñêèõ îïåðàöèÿõ, çàäàííûõ íà ìíîæåñòâå ïðîèçâîëüíîé
ïðèðîäû. Òåîðèÿ ìíîæåñòâ îêàçàëàñü â îðãàíè÷åñêîì åäèíñòâå
ñ ëîãèêîé è ìåòîäîëîãèåé íàóêè, à â ñâîåé àêñèîìàòè÷åñêîé
ôîðìå ïðîíèêëà è â ïåäàãîãèêó ìàòåìàòèêè — ëåãëà â îñíîâó
ïðîãðàìì ó÷åáíèêîâ øêîëû è âóçà. È êàê áû ïîäâîäÿ èòîãè
ìàòåìàòè÷åñêèì äîñòèæåíèÿì â XIX ñòîëåòèè, Í. Áóðáàêè ïè-
ñàëè: «...ëîãè÷åñêè ãîâîðÿ, âîçìîæíî âûâåñòè ïî÷òè âñþ ñî-
âðåìåííóþ ìàòåìàòèêó èç åäèíîãî èñòî÷íèêà — òåîðèè ìíî-
æåñòâ» [7. Ñ. 25].
     Èñòîðèÿ ìàòåìàòèêè ïîêàçûâàåò, ÷òî ÷åì ðåâîëþöèîííåå
òåîðèÿ, ÷åì áîëüøóþ ïåðåñòðîéêó â ìûøëåíèè îíà âûçûâàåò,
òåì çàìåòíåå è îïïîçèöèÿ åé. Îïïîçèöèîííûé íàñòðîé çà÷àñ-
òóþ óñêîðåííî âîçðàñòàåò â ñèëó îáíàðóæåíèÿ â òåîðèè «ñèìï-
òîìîâ áîëåçíè». Èìåííî òàêàÿ ñèòóàöèÿ è ñëîæèëàñü â òåîðèè
ìíîæåñòâ ïðè îáíàðóæåíèè ïàðàäîêñîâ. Ñâîèì ïîÿâëåíèåì îíè
âûçâàëè ïåðåñòðîéêó òåîðèè ìíîæåñòâ, èçìåíåíèÿ â ÿçûêå è
ìûøëåíèè ìàòåìàòèêîâ. Âîçíèêëè ðàçëè÷íûå òåîðåòèêî-ìíî-
æåñòâåííûå àêñèîìàòèêè (Öåðìåëî, Öåðìåëî — Ôðåíêåëÿ, ïîç-
æå Ãåäåëÿ — Áåðíàéñà è äðóãèå), ââîäèëèñü îãðàíè÷åíèÿ êëàñ-
ñîâ äîïóñòèìûõ ìíîæåñòâ («èçãîíÿëèñü», íàïðèìåð, òàêèå òèïû
êëàññîâ, êàê «êëàññ âñåõ ìíîæåñòâ»). Â öåëîì ïàðàäîêñû ñêîí-
öåíòðèðîâàëè âíèìàíèå ìàòåìàòèêîâ íà ïðîáëåìàõ îñíîâàíèé

                                                          61