Линейная алгебра. Михайлов А.Б - 4 стр.

                                               -4-
     Сложение матриц. Складывать можно только матрицы с одинаковым
числом строк и столбцов, т.е. матрицы одинаковых размеров. Суммой матриц
     ( )            ( )                                          ( )
A = aij и B = bij называется матрица C = cij , элементы которой равны
суммам соответствующих элементов матриц A и B , т.е. cij = aij + bij для лю-
бых индексов i , j .
     Умножение матриц. Произведение матрицы A на матрицу B (обознача-
ется AB ) определено только в том случае, когда число столбцов матрицы A
равно числу строк матрицы B . В результате умножения получим матрицу
C = AB , у которой столько же строк, сколько их в матрице A , и столько же
столбцов, сколько их в матрице B . Для удобства запоминания запишем это
кратко:
                                           AB=C
                                           1
                                           4243
                                       ( m× n )( n× k ) = m× k
                   ( )          ( )                        ( )
       Если A = aij , B = bij и C = AB = cij , то элементы cij определяют-
ся следующим образом:
                                                                       n
                     cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + ... + ainbnj =     ∑a
                                                                   p =1
                                                                           ip b pj   ,

где i = 1,2,..., m; j = 1,2,..., k .
       Это правило можно сформулировать и словесно: элемент cij , стоящий на
пересечении i -й строки и j -го столбца матрицы C = AB , равен сумме попар-
ных произведений соответствующих элементов i -й строки матрицы A и j -го
столбца матрицы B . Другими словами, элемент cij является результатом ска-
лярного произведения i -й вектор-строки и j -го вектор-столбца.
Пример 2. Выполнить действия:
       ⎛ 2 − 3 ⎞ ⎛ 4 3 ⎞ ⎛ 2 − 3 ⎞ ⎛ 8 6 ⎞ ⎛10 3 ⎞
       ⎜       ⎟ ⎜         ⎟ ⎜         ⎟ ⎜         ⎟ ⎜       ⎟
       ⎜− 1 0   +
               ⎟ ⎜2 − 1 2   =
                           ⎟ ⎜−   1 0  ⎟ + ⎜− 2 4   =
                                                   ⎟ ⎜ − 3 4 ⎟.
       ⎜8
       ⎝    2 ⎟⎠ ⎜⎝ − 2 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 8   2 ⎟⎠ ⎜⎝ − 4 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 4 2 ⎟⎠
Пример 3. Перемножить матрицы:
                              ⎛− 5 3 1 0 ⎞
            ⎛ 2 3 − 1⎞        ⎜              ⎟
       A = ⎜⎜        ⎟⎟ и B = ⎜ 0 − 2 − 1 3 ⎟ .
            ⎝ 0 − 4 1⎠        ⎜3
                              ⎝     2 2 − 4 ⎟⎠
       Матрица A имеет размерность 2×3, матрица B имеет размерность 3×4,
значит, матрицы можно перемножить. Размерность матрицы произведения С –
2×4. Чтобы получить первый элемент матрицы С перемножим элементы первой
строки матрицы А на соответствующие элементы первого столбца матрицы В.
Элементы c12 , c13 , c14 получим умножением элементов первой строки матрицы