Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 122 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

122
Òàáëèöà 3
4
÷èñåë
[]c
ijkl
, ñîñòàâëåííûõ ïî ïðàâèëó
(5.6), îáðàçóåò òåíçîð 4-ãî ðàíãà, íàçûâàåìûé ïîë-
íûì ïðîèçâåäåíèåì òåíçîðîâ [a
ij
] è [b
kl
]: Ñ = ÀÂ.
Òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå íåêîììóòàòèâíî, ò. å. ÀÂ ≠ ÂÀ.
Ïðàâèëî (5.6) îòíîñèòñÿ ê òåíçîðàì ëþáîãî ðàíãà. Òàê, íà-
ïðèìåð, åñëè êîýôôèöèåíòû a
ij
îáðàçóþò òåíçîð 2-ãî ðàíãà, à
êîýôôèöèåíòû b
k
— òåíçîð 1-ãî ðàíãà, òî 3
3
= 27 êîýôôèöèåí-
òîâ c
ijk
=a
ij
b
k
(i, j, k = 1, 2, 3) îáðàçóþò òåíçîð 3-ãî ðàíãà.
Ðàíã ïîëíîãî ïðîèçâåäåíèÿ òåíçîðîâ ðàâåí ñóììå ðàíãîâ
ñîìíîæèòåëåé: rang C = rang A + rang B.
Îïðåäåëåíèå. Ñâåðòûâàíèåì íàçûâàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèå òåíçîðà
ïóòåì ñóììèðîâàíèÿ åãî êîìïîíåíò ïî êàêèì-ëèáî äâóì
èíäåêñàì. Ïðè ýòîì ðàíã òåíçîðà ïîíèæàåòñÿ íà 2.
Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ñâåðòûâàíèå ìîæíî ïðî-
èçâîäèòü òîëüêî ó òåíçîðîâ ðàíãà íå ìåíüøå äâóõ.
Îïåðàöèþ ñâåðòûâàíèÿ ìîæíî ïðèìåíÿòü ê òåíçîðó íåñêîëü-
êî ðàç, ïîêà åãî ðàíã íå ñòàíåò ìåíüøå äâóõ. Òàêèì îáðàçîì,
òåíçîð ÷åòíîãî ðàíãà ìîæåò áûòü ñâåðíóò äî ñêàëÿðà, à òåíçîð
íå÷åòíîãî ðàíãà — òîëüêî äî âåêòîðà.
Ïðèìåð 1. Ïóñòü 3
3
= 27 ÷èñåë a
ijk
(i, j, k = 1, 2, 3) îáðàçóþò
òåíçîð 3-ãî ðàíãà. Òîãäà åãî ñâåðòêà ïî äâóì ïåðâûì èíäåêñàì
äàñò òåíçîð 1-ãî ðàíãà (âåêòîð)
baaaak
kiik
i
kkk
==++ =
∑
11 22 33
123(,,).
Ïðèìåð 2. Ñâåðòêîé òåíçîðà 2-ãî ðàíãà ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿð:
aaaaa
ii
i
==++
∑
11 22 33
.
Îïðåäåëåíèå. Ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì òåíçîðîâ íàçûâàåòñÿ îïå-
ðàöèÿ óìíîæåíèÿ ýòèõ òåíçîðîâ ñ ïîñëåäóþùèì ñâåð-
òûâàíèåì ïî èíäåêñàì, îòíîñÿùèìñÿ ê ðàçíûì ñî-
ìíîæèòåëÿì.
Ïðèìåð 3. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå òåíçîðà 2-ãî ðàíãà [a
ij
]
íà âåêòîð [b
k
] ñî ñâåðòûâàíèåì ïî ïîñëåäíèì èíäåêñàì äàñò íî-
âûé âåêòîð
ρ
ρ
cAb=⋅
ñ êîìïîíåíòàìè
cabi
iijj
j
==
∑
(,,).123
            Òàáëèöà 34 ÷èñåë [ cijkl ] , ñîñòàâëåííûõ ïî ïðàâèëó
               (5.6), îáðàçóåò òåíçîð 4-ãî ðàíãà, íàçûâàåìûé ïîë-
               íûì ïðîèçâåäåíèåì òåíçîðîâ [aij] è [bkl]: Ñ = ÀÂ.
Òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå íåêîììóòàòèâíî, ò. å. ÀÂ ≠ ÂÀ.
      Ïðàâèëî (5.6) îòíîñèòñÿ ê òåíçîðàì ëþáîãî ðàíãà. Òàê, íà-
ïðèìåð, åñëè êîýôôèöèåíòû aij îáðàçóþò òåíçîð 2-ãî ðàíãà, à
êîýôôèöèåíòû bk — òåíçîð 1-ãî ðàíãà, òî 33 = 27 êîýôôèöèåí-
òîâ cijk = aijbk (i, j, k = 1, 2, 3) îáðàçóþò òåíçîð 3-ãî ðàíãà.
      Ðàíã ïîëíîãî ïðîèçâåäåíèÿ òåíçîðîâ ðàâåí ñóììå ðàíãîâ
ñîìíîæèòåëåé: rang C = rang A + rang B.
Îïðåäåëåíèå. Ñâåðòûâàíèåì íàçûâàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèå òåíçîðà
               ïóòåì ñóììèðîâàíèÿ åãî êîìïîíåíò ïî êàêèì-ëèáî äâóì
               èíäåêñàì. Ïðè ýòîì ðàíã òåíçîðà ïîíèæàåòñÿ íà 2.
      Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ñâåðòûâàíèå ìîæíî ïðî-
èçâîäèòü òîëüêî ó òåíçîðîâ ðàíãà íå ìåíüøå äâóõ.
      Îïåðàöèþ ñâåðòûâàíèÿ ìîæíî ïðèìåíÿòü ê òåíçîðó íåñêîëü-
êî ðàç, ïîêà åãî ðàíã íå ñòàíåò ìåíüøå äâóõ. Òàêèì îáðàçîì,
òåíçîð ÷åòíîãî ðàíãà ìîæåò áûòü ñâåðíóò äî ñêàëÿðà, à òåíçîð
íå÷åòíîãî ðàíãà — òîëüêî äî âåêòîðà.
      Ïðèìåð 1. Ïóñòü 33 = 27 ÷èñåë aijk (i, j, k = 1, 2, 3) îáðàçóþò
òåíçîð 3-ãî ðàíãà. Òîãäà åãî ñâåðòêà ïî äâóì ïåðâûì èíäåêñàì
äàñò òåíçîð 1-ãî ðàíãà (âåêòîð)

          bk = ∑ a iik = a11k + a 22 k + a 33k     ( k = 1,2 ,3).
                  i
     Ïðèìåð 2. Ñâåðòêîé òåíçîðà 2-ãî ðàíãà ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿð:

                      a = ∑ a ii = a11 + a 22 + a 33 .
                           i
Îïðåäåëåíèå. Ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì òåíçîðîâ íàçûâàåòñÿ îïå-
            ðàöèÿ óìíîæåíèÿ ýòèõ òåíçîðîâ ñ ïîñëåäóþùèì ñâåð-
            òûâàíèåì ïî èíäåêñàì, îòíîñÿùèìñÿ ê ðàçíûì ñî-
            ìíîæèòåëÿì.
     Ïðèìåð 3. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå òåíçîðà 2-ãî ðàíãà [aij]
íà âåêòîð [bk] ñî ñâåðòûâàíèåì ïî ïîñëåäíèì èíäåêñàì äàñò íî-
              ρ        ρ
âûé âåêòîð c = A ⋅ b ñ êîìïîíåíòàìè ci = ∑ a ij b j                 (i = 1,2 ,3).
                                                         j


                                    122

Страницы