Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 123 стр.

Ýòî èçâåñòíàÿ îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ ìàòðèöû íà âåêòîð ïî ïðà-
âèëó «ñòðîêà íà ñòîëáåö».
       Ïðèìåð 4. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ òåíçîðîâ 2-ãî ðàí-
ãà [aij] è [bij] ñî ñâåðòûâàíèåì ïî ïàðå ðàçíîïîçèöèîííûõ èíäåê-
ñîâ äàñò íîâûé òåíçîð 2-ãî ðàíãà Ñ = À⋅Â ñ êîìïîíåíòàìè
cik = ∑ a ij b jk (i , k = 1,2 ,3). Ýòî èçâåñòíàÿ îïåðàöèÿ ïåðåìíîæå-
      j
íèÿ ìàòðèö ïî ïðàâèëó «ñòðîêà íà ñòîëáåö», äàþùàÿ íîâóþ ìàò-
ðèöó.
                                           ρ
Îïðåäåëåíèå. Òåíçîð 2-ãî ðàíãà ∇a , îïðåäåëÿåìûé êàê ïîëíîå
          ïðîèçâåäåíèå        ñèìâîëè÷åñêîãî       âåêòîðà
                    ∂    ∂   ∂  íà âåêòîð aρ = a , a , a è èìå-
                 ∇=    ,   ,                  { 1 2 3}
                    ∂x1 ∂x2 ∂x3 
                                   ρ       ∂a
                 þùèé êîìïîíåíòû (∇a ) ij = i (i , j = 1,2 ,3) , íàçûâà-
                                           ∂x j
                                                    ρ
                 åòñÿ ãðàäèåíòîì âåêòîðíîãî ïîëÿ a .
                   ρ
     Òåíçîð ∇a ÿâëÿåòñÿ ìåðîé íåîäíîðîäíîñòè âåêòîðíîãî ïîëÿ

ρ                                  ∂u ∂u ∂u 
a , ïîäîáíî òîìó, êàê âåêòîð ∇u =     ,   ,     ÿâëÿåòñÿ
                                   ∂x1 ∂x2 ∂x3 
ìåðîé íåîäíîðîäíîñòè ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u ( x1 , x2 , x3 ).
                  ρ       ρ      ρ
Çàìå÷àíèå. ∇a ≠ ∇ ⋅ a = div a.
    Ïîäîáíî òîìó, êàê â ðàçäåëå 1.3 ïðåäñòàâëÿëàñü ïðîèçâîä-
íàÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u( x1 , x2 , x3 ) ïî íàïðàâëåíèþ, çàäàâàåìîìó
                   ρ ∂u ρ
åäèíè÷íûì âåêòîðîì l : = l ⋅ ∇u (ôîðìóëà (1.6), ìîæíî ââåñòè
                      ∂λ
                                               ρ
ïîíÿòèå ïðîèçâîäíîé âåêòîðíîãî ïîëÿ a ( x1 , x2 , x3 ) ïî íàïðàâëå-
     ρ                                                         ρ
íèþ l êàê ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå åäèíè÷íîãî âåêòîðà l íà
           ρ
òåíçîð    ∇a :



                                     123