Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 132 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

132
3. Òèïû âåêòîðíûõ ïîëåé
3.1. Íåò. 3.5.
ϕ
= -(xyz + x).
3.2.
ϕ
= -(x
2
y + y
2
z + z
2
x). 3.6. Íåò.
3.3. Íåò. 3.7.
ϕ
= -xy.
3.4.
ϕ
= -x
2
yz. 3.8.
ϕ
= -(xy + e
z
— 1).
3.9.
ϕ
= -(xy + xz + yz).
3.10.
ϕ
= -lnx + y + z.
3.11.
ϕ
= -xyz (x + y + z).
3.12. Ïîäñêàçêà. Ïîêàçàòü, ÷òî
rot
ρ
a = 0
, à çàòåì âû÷èñ-
ëèòü öèðêóëÿöèþ ïî êîíòóðó, îõâàòûâàþùåìó îñü
z , êàê â ïðèìåðå 2 ðàçä. 3.1.
3.13. — .
3.14. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî
∇+ =∇+∇()
ϕϕ ϕ ϕ
12 1 2
.
3.15. — .
3.16.
ϕ
= -kx
2
/2 ïðè x≤ d,
ϕ
=k(d
2
/2 —xd) ïðè x>d,
ϕ
=k(d
2
/2 + xd) ïðè x < -d.
3.17. — . 3.21.
ρ
Axyxz=−{, , }02 2
22
.
3.18. Äà. 3.22.
ρ
Axyxz=−{, , }0
22
.
3.19. — . 3.23.
ρ
Aexe
xy
=−{, ,}00
.
3.20.
ρ
Axyx=−{, , }0
. 3.24.
ρ
A x xz yz xy=− + −{, ( ), }02
2
.
3.25.
ψω
=+xy C
.
3.26. Ïîëå
ρρ
ar=
íå ÿâëÿåòñÿ ñîëåíîèäàëüíûì è ïîýòîìó
íå èìååò âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà.
3.27.
ρ
A
i
=−
µ
π
ρ
0
2
00{,,ln }
.
3.28.
ρ
A
x
y
1
0
2
00
=−
γ
πε
, , arctg
,
ρ
A
yz
xz
2
22
0
=
−
ρρ
,,
.
3.29.
ρ
AA
z
=
{,, }00
, ãäå
A
jx
jd jxd
jd jxd
z
=
−
−
+
µ
µµ
µµ
0
2
0
2
0
0
2
0
2
2
2
/
/
/
пиxd
пиxd
пиxd
р ;
р ;
р .
≤
>
<−
                3. Òèïû âåêòîðíûõ ïîëåé
 3.1.   Íåò.                       3.5.   ϕ = -(xyz + x).
 3.2.   ϕ = -(x2y + y2z + z2x).    3.6.   Íåò.
 3.3.   Íåò.                       3.7.   ϕ = -xy.
 3.4.   ϕ = -x2yz.                 3.8.   ϕ = -(xy + ez — 1).
                                   3.9.   ϕ = -(xy + xz + yz).
3.10. ϕ = -lnx + y + z.
3.11. ϕ = -xyz (x + y + z).
                                     ρ
3.12. Ïîäñêàçêà. Ïîêàçàòü, ÷òî rot a = 0 , à çàòåì âû÷èñ-
      ëèòü öèðêóëÿöèþ ïî êîíòóðó, îõâàòûâàþùåìó îñü
      z , êàê â ïðèìåðå 2 ðàçä. 3.1.
3.13. — .
3.14. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ∇(ϕ1 + ϕ 2 ) = ∇ϕ1 + ∇ϕ2 .
3.15. — .
3.16. ϕ = -kx2/2 ïðè x ≤ d, ϕ = k(d2/2 — xd) ïðè x > d,
      ϕ = k (d2/2 + xd) ïðè x < -d.
                                      ρ
3.17. — .                      3.21. A = {0, x 2 2 , y 2 2 − xz} .
                                     ρ
3.18. Äà.                      3.22. A = {0, x 2 , y 2 − xz} .
                                     ρ
3.19. — .                      3.23. A = {0, e x − xe y ,0} .
       ρ                             ρ
3.20. A = {0, x, y − x} .      3.24. A = {0,− x( xz + 2 yz ),− xy 2} .
                              3.25. ψ = ωxy + C .
             ρ ρ
3.26. Ïîëå a = r íå ÿâëÿåòñÿ ñîëåíîèäàëüíûì è ïîýòîìó
      íå èìååò âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà.
       ρ    µi
3.27. A = − 2π0 {0,0, ln ρ} .

      ρ    γ                 x  Aρ =  yz , − xz ,0
3.28. A1 = πε 0,0,− arctg    y  , 2  ρ 2 ρ 2  .
          2 0

                               − µ0 jx 2 / 2        п ри x ≤ d ;
      ρ                        
3.29. A = {0,0, Az} , ãäå Az = µ0 jd 2 / 2 − µ0 jxd при x > d;
                               µ jd 2 / 2 + µ jxd при x < −d .
                                0             0




                             132

Страницы