Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 134 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

134
3.55. Ïîäñêàçêà. Ïðèìåíèòü òåîðåìó Îñòðîãðàäñêîãî.
3.56. Ïîäñêàçêà. Ïðèìåíèòü òåîðåìó Îñòðîãðàäñêîãî.
3.57. Ïîäñêàçêà. Ñì. çàäà÷è 3.56 è 3.49.
3.58. Ïîäñêàçêà.  ïåðâîì ñëó÷àå ïðèìåíèòü òåîðåìó Îñò-
ðîãðàäñêîãî, äîêàçûâàþùóþ ñîîòíîøåíèå (3.16); âî
âòîðîì ñëó÷àå ââåñòè ñôåðó x
2
+y
2
+z
2
=R
2
, öåëèêîì
ëåæàùóþ âíóòðè S, âû÷èñëèòü ïîòîê ÷åðåç íåå íå-
ïîñðåäñòâåííî, à çàòåì ïðèìåíèòü òåîðåìó Îñòðî-
ãðàäñêîãî ê îáëàñòè, çàêëþ÷åííîé ìåæäó ýòîé ñôå-
ðîé è ïîâåðõíîñòüþ S.
3.59. Ïîäñêàçêà. Ïðèìåíèòü òåîðåìó Îñòðîãðàäñêîãî.
3.60. Ïîäñêàçêà. Âûïîëíèòü îïåðàöèþ
rotrot
ρ
a
ñèìâîëè÷åñ-
êèì ìåòîäîì.
3.61. 0.
3.62. Ïîäñêàçêà. Äîêàçàòåëüñòâî ìîæíî âûïîëíèòü ïîêîîð-
äèíàòíî, íî ëó÷øå âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé (3.17).
4. Êðèâîëèíåéíûå îðòîãîíàëüíûå êîîðäèíàòû
4.1.
ρ
ρ
Be=
ϕ
ρ
. 4.4.
ρρ
af e= ()
ρρ
ρ
.
4.2.
ρρ
af e= ()
ρρ
ϕ
. 4.5.
ρρ ρ
af ze f ze
z
=+
12
(,) (,)
ρρ
ρ
.
4.3.
ρ
ρ
Ee=
ρ
ρ
. 4.6.
ϕ
= C
1
,
rC=
2
2
sin
θ
.
4.7.
ρ
= C
1
,
zb C=+
ϕ
2
(âèíòîâûå ëèíèè).
4.8.
ϕ
= C
1
,
rC=
2
2
sin
θ
.
4.9.
∇=u {,,}010
— â íàïðàâëåíèè îðòà
ρ
e
θ
.
4.10.
∇= −ur r{cos, sin,}20
θθ
.
4.11.
∇= − + ⋅ = −
ue
z
ee
z
z
ρρρ
ρϕ
ϕ
ρ
ϕ
ϕ
ρ
ϕ
sin
cos ,
sin
,cos1
.
4.12.
div
cos
ρ
a
r
= 2
θ
. 4.14. 0; 0.
4.13.
rot
sin
ρρ
a
r
e=−
θ
ϕ
2
. 4.15.
rot
sin
ρρ ρ
ae e
z
=− +
2
ρ
ϕ
ρ
ϕ
.
3.55.   Ïîäñêàçêà. Ïðèìåíèòü òåîðåìó Îñòðîãðàäñêîãî.
3.56.   Ïîäñêàçêà. Ïðèìåíèòü òåîðåìó Îñòðîãðàäñêîãî.
3.57.   Ïîäñêàçêà. Ñì. çàäà÷è 3.56 è 3.49.
3.58.   Ïîäñêàçêà.  ïåðâîì ñëó÷àå ïðèìåíèòü òåîðåìó Îñò-
        ðîãðàäñêîãî, äîêàçûâàþùóþ ñîîòíîøåíèå (3.16); âî
        âòîðîì ñëó÷àå ââåñòè ñôåðó x2 + y2 + z2 = R2, öåëèêîì
        ëåæàùóþ âíóòðè S, âû÷èñëèòü ïîòîê ÷åðåç íåå íå-
        ïîñðåäñòâåííî, à çàòåì ïðèìåíèòü òåîðåìó Îñòðî-
        ãðàäñêîãî ê îáëàñòè, çàêëþ÷åííîé ìåæäó ýòîé ñôå-
        ðîé è ïîâåðõíîñòüþ S.
3.59.   Ïîäñêàçêà. Ïðèìåíèòü òåîðåìó Îñòðîãðàäñêîãî.
                                                ρ
3.60.   Ïîäñêàçêà. Âûïîëíèòü îïåðàöèþ rotrot a ñèìâîëè÷åñ-
        êèì ìåòîäîì.
3.61.   0.
3.62.   Ïîäñêàçêà. Äîêàçàòåëüñòâî ìîæíî âûïîëíèòü ïîêîîð-
        äèíàòíî, íî ëó÷øå âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé (3.17).

    4. Êðèâîëèíåéíûå îðòîãîíàëüíûå êîîðäèíàòû
       ρ ρ                   ρ           ρ
 4.1. B = eϕ ρ .       4.4. a = f ( ρ )ρeρ .
       ρ          ρ          ρ            ρ               ρ
 4.2. a = f ( ρ )ρeϕ . 4.5. a = f1( ρ, z )eρ + f2 ( ρ, z )ez .
       ρ ρ
 4.3. E = eρ ρ .       4.6. ϕ = C1 , r = C2 sin 2 θ .


 4.7. ρ = C1 , z = bϕ + C2 (âèíòîâûå ëèíèè).
 4.8. ϕ = C1 , r = C2 sin 2 θ .
                                        ρ
 4.9. ∇u = {01
             , ,0} — â íàïðàâëåíèè îðòà eθ .
4.10. ∇u = {2r cos θ ,−r sin θ ,0} .
           ρ z sin ϕ ρ         ρ  z sin ϕ         
4.11. ∇u = eρ − ρ eϕ + cos ϕ ⋅ ez = 1,− ρ , cos ϕ  .
                                                  
          ρ     cos θ
4.12. div a = 2       .                4.14. 0; 0.
                  r
          ρ    sin θ ρ                           ρ      ρ sin ϕ ρ
4.13. rot a = − 2 eϕ .                 4.15. rot a = −2ρeϕ +    e .
                 r                                           ρ z


                               134

Страницы