Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 136 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

136
îïèðàþùåéñÿ íà äâå ñòîðîíû òîãî æå êîíòóðà è äî-
ïîëíåííîé äâóìÿ òîðöåâûìè ñåãìåíòàìè êðóãà.
4.36.
()
hRRln
21
. 4.46.
uz=− + +(sin)
ρρϕ
22
.
4.37. 4
π
R
2
. 4.47. Ïîëå íå ïîòåíöèàëüíî.
4.38. 2
π
R. 4.48.
uz z=−
32
32
ρ
.
4.39.
π
2
R. 4.49. Ïîëå íå ïîòåíöèàëüíî.
4.40. 1/2. 4.50.
ue z=+
ρ
ϕ
sin
2
.
4.41. 2
π
R
2
. 4.51. Ïîëå íå ïîòåíöèàëüíî.
4.42.
π
. 4.52.
ufrdr=−
∫
()
.
4.43. 2/R
2
. 4.53.
ur=−
θ
.
4.44.
u =− +
ρ
2
4
. 4.54.
ur=
2
cos
θ
.
4.45.
ufd=−
∫
()
ρρ
. 4.55.
ur=⋅sin cos
θϕ
.
4.56.
ur= cos
θ
2
.
4.57. u
k
kR kR R
()
/
(/ ln())
ρ
ρ
ρ
=
−
−+
2
22
2
2
.при
;при
R
R
≥
≤
4.58.
ur
kR rR
kr
()
()( )
=
−
23
22
.при
;при
R
R
≥
≤
uu
k
R
0
0)
3
2
==
(
.
4.59.
fz fz(,) ()
ρρ
=+
3
1
3
, ãäå f
1
(z) — ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ.
4.60.
fz fz(,) ()
ρρ
=+
2
1
2
, ãäå f
1
(z) — ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ.
4.61. Âåêòîðíûå ïîòåíöèàëû ìîãóò áûòü, íàïðèìåð, òà-
êèìè:
ρ
A
=
{,, }00
ϕ
,
ρ
Az
=−
{, ,}00
ρ
; îäíàêî ïåðâûé èç
íèõ «íåõîðîø» òåì, ÷òî èìååò ðàçðûâ ïðè ïåðåõîäå
÷åðåç ïîëóïëîñêîñòü
ϕ
=0.
4.62. Ñðåäè âåêòîðíûõ ïîòåíöèàëîâ âîçìîæíû òàêèå:
ρ
Az
=
{,,}
ρ
00
,
ρ
A
=−
{,, ln }00
ρ
.
4.63. Âîçìîæíû, íàïðèìåð, òàêèå âàðèàíòû âåêòîðíûõ ïî-
òåíöèàëîâ:
ρ
Az= {,,}
ρ
00
,
ρ
A
=−
{,, }00 2
2
ρ
.
4.64.
ρ
Az
=−
{, ,}020
2
ρ
.
4.65.
ρ
Az
=−
{, ,}020
22
ρ
.
4.66.
Ar
=
{,,(sin ) }00
2
θ
.
4.67. Ïîëå
ρρ
are
r
=
íå ÿâëÿåòñÿ ñîëåíîèäàëüíûì, è ïîýòî-
ìó íå èìååò âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà.
        îïèðàþùåéñÿ íà äâå ñòîðîíû òîãî æå êîíòóðà è äî-
        ïîëíåííîé äâóìÿ òîðöåâûìè ñåãìåíòàìè êðóãà.
4.36.   h ln( R2 R1) .      4.46. u = −( ρ 2 + ρ sin ϕ + z 2 ) .
4.37.   4πR2.               4.47. Ïîëå íå ïîòåíöèàëüíî.
4.38.   2πR.                4.48. u = z 3 3 − zρ 2 2 .
4.39.   π2R.                4.49. Ïîëå íå ïîòåíöèàëüíî.
4.40.   1/2.                4.50. u = eρ sin ϕ + z 2 .
4.41.   2πR2.               4.51. Ïîëå íå ïîòåíöèàëüíî.
4.42.   π.                  4.52. u = − ∫ f (r )dr .
4.43.   2/R2.               4.53. u = −rθ .
4.44.   u = − ρ2 + 4 .      4.54. u = r 2 cos θ .
4.45.   u = − ∫ f ( ρ )dρ . 4.55. u = r sin θ ⋅ cos ϕ .
                            4.56. u = cos θ r 2 .
               − kρ 2 / 2                при ≤ R;
4.57. u( ρ ) = 
               − ( kR / 2 + kR ln( ρ R)) при ≥ R.
                      2        2



              ( k 2 R)(3 − r 2 R2 ) при ≤ R;              k
4.58. u(r ) =                                u0 = u(0) = 3 .
              k  r                  при ≥ R.             2R

4.59. f ( ρ, z ) = ρ 3 3 + f1( z ) , ãäå f1(z) — ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ.
4.60. f ( ρ, z ) = ρ 2 2 + f1( z ) , ãäå f1(z) — ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ.
4.61. Âåêòîðíûå ïîòåíöèàëû ìîãóò áûòü, íàïðèìåð, òà-
                  ρ                 ρ
      êèìè: A = {0,0, ϕ} , A = {0,− z ρ ,0} ; îäíàêî ïåðâûé èç
      íèõ «íåõîðîø» òåì, ÷òî èìååò ðàçðûâ ïðè ïåðåõîäå
      ÷åðåç ïîëóïëîñêîñòü ϕ = 0.
4.62. Ñðåäè âåêòîðíûõ ïîòåíöèàëîâ âîçìîæíû òàêèå:
       ρ                   ρ
       A = {z ρ,0,0} , A = {0,0,− ln ρ} .
4.63. Âîçìîæíû, íàïðèìåð, òàêèå âàðèàíòû âåêòîðíûõ ïî-
                         ρ                  ρ
      òåíöèàëîâ: A = {ρz,0,0} , A = {0,0,− ρ 2 2} .
       ρ
4.64. A = {0,− ρz 2 2 ,0} .
       ρ
4.65. A = {0,− ρ 2 z 2 2 ,0} .
       ρ
4.66. A = {0,0,(sin θ ) r 2} .
                ρ ρ
4.67. Ïîëå a = rer íå ÿâëÿåòñÿ ñîëåíîèäàëüíûì, è ïîýòî-
      ìó íå èìååò âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà.

                             136

Страницы