Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 138 стр.

5.2. Ïóñòü [aij] è [bij] — äâå îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû.

    Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî          ∑ aik a jk                = δ ij ,   ∑ bik b jk   = δ ij .
                                   k                                k
    Ïî ïðàâèëó óìíîæåíèÿ «ñòðîêà íà ñòîëáåö»
    cij = ∑ a ik bkj . Ñîñòàâèì è ïðåîáðàçóåì ñóììó:
          k

    ∑ cik c jk = ∑ (∑ aimbmk ∑ a jnbnk ) = ∑ ∑ aima jn ∑bmkbnk =
     k          k    m             n                          m n         k
              = ∑ ∑ aima jnδ mn = ∑ aima jm = δ ij .
                m n                              m
     Òàêèì îáðàçîì, ìàòðèöà [cij] óäîâëåòâîðÿåò îïðåäå-
     ëåíèþ îðòîãîíàëüíîñòè.
5.3. Ñòðîêè ìàòðèöû Ã ñîñòàâëåíû èç êîìïîíåíò íîâûõ
                                       ρ ρ ρ
    áàçèñíûõ âåêòîðîâ ( e1′ , e2′ , e3′ ) â ñòàðîì áàçèñå
      ρ ρ ρ
    ( e1 , e2 , e3 ) , ñëåäîâàòåëüíî, det à ìîæåò áûòü ïðåä-
    ñòàâëåí ñìåøàííûì ïðîèçâåäåíèåì áàçèñíûõ âåêòî-
          ρ ρ ρ
    ðîâ ( e1′ , e2′ , e3′ ) , êîòîðîå ðàâíî îáúåìó êóáà, ïîñòðî-
                                               ρρ ρ
    åííîãî íà ýòèõ âåêòîðàõ, ò. å. V = ( e1′e2′ e3′ ) = ±1. Çíàê
    «+» áåðåòñÿ, åñëè îáà áàçèñà ïðàâûå èëè ëåâûå, à
    çíàê «-», åñëè îäèí áàçèñ ïðàâûé, à äðóãîé ëåâûé.
5.4. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè:              ∑ a i xi          = 1. Ïðè ïîâîðîòå áà-
                                        i
    çèñà ñòàðûå êîîðäèíàòû êàæäîé òî÷êè ïëîñêîñòè âû-
    ðàæàþòñÿ ÷åðåç íîâûå ôîðìóëîé: xi = ∑ γ ik
                                            ′ xk′ . Ñëå-
                                                                     k

    äîâàòåëüíî,     ∑ ∑ a i γ ik′ xk′ = ∑ (∑ γ ki a i )xk′               = 1. Çäåñü
                     i   k                           k    i

    âíóòðåííèå ñóììû a k′ =                 ∑ γ ki a i        îáðàçóþò êîýôôè-
                                             i
    öèåíòû ïëîñêîñòè â íîâîì áàçèñå. Âèäíî, ÷òî òàêîå
    ïðåîáðàçîâàíèå êîýôôèöèåíòîâ a 1 , a 2 , a 3 ñîîòâåò-
    ñòâóåò îïðåäåëåíèþ òåíçîðà 1-ãî ðàíãà.


                             138