Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 140 стр.

5.13.  ñîîòâåòñòâèè ñ ðåøåíèåì çàäà÷è 5.12, ïîëó÷àåì:

               1 3 5                   0 − 1 − 2
               
      [ bij ] = 3 5 7 ,      [ cij ] =  1 0 − 1.
                                                    
               5 7 9                 2 1      0 
                         ρ ρ ρ
5.14. Ïóñòü â áàçèñå ( e1 , e2 , e3 ) a ij = a ji . Òîãäà
       aij′ = ∑∑ γ ikγ jl akl = ∑∑ γ ikγ jl alk = ∑∑ γ jlγ ik alk = a′ji .
             k       l               k   l          l    k


5.15. Òàê êàê a ij = a ji , à bij = −b ji , òî íàáîð ÷èñåë
       cij = a ij bij îáðàçóåò àíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð 2-ãî
      ðàíãà. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóììà âñåõ åãî êîìïîíåíò
       S = ∑ ∑ cij = 0.
             i       j

5.16. Â íîâîì áàçèñå a′kl = ∑∑ γ kiγ lj aij , ãäå [γ ij ] — ìàòðèöà
                                             ρ               ρ
      ïðåîáðàçîâàíèÿ áàçèñà: ei′ = ∑ γ ij e j . Ðàñêëàäûâàÿ
                 ρ            ρ                              ρ ρ
      îðòû e1′ è e2′ ïî ñòàðîìó áàçèñó ( e1 , e2 ) , ïîëó÷àåì:
         ρ ρ                 ρ
        e1′ = e1 ⋅ cos α + e 2 ⋅ sin α ,
       ρ        ρ            ρ             ãäå α — óãîë ïîâîðîòà
       e 2′ = − e1 ⋅ sin α + e 2 ⋅ cos α ,
      áàçèñà (ñì. çàäà÷ó 5.1). Ïðè α = 45° èìååì:
                         1     1 1
      [γ ij ] =               − 1 1. Îäíàêî âìåñòî äâîéíîãî ñóììè-
                          2        
      ðîâàíèÿ òåõíè÷åñêè óäîáíåå âûïîëíèòü îïåðàöèþ ïå-
      ðåìíîæåíèÿ                     ìàòðèö:            T ′ = ГТГ −1 ,        ãäå
       T = [ a ij ], T ′ = [ a ij′ ]. Äëÿ ýòîãî íàäî âû÷èñëèòü ìàò-
                                                             −1
      ðèöó îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Г                             . Íî òàê êàê áà-
      çèñ ÿâëÿåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûì, òî Г −1 = Г ′, ãäå
       Г ′ — òðàíñïîíèðîâàííàÿ ìàòðèöà Ã, ò. å.


                                     140