Задачи по векторному анализу. Михайлов В.К - 139 стр.

 5.5. Äîêàçàòåëüñòâî òàêîå æå, êàê â çàäà÷å 5.4.
 5.6. Ïðè ïåðåõîäå ê íîâîìó áàçèñó êîìïîíåíòû âåêòîðîâ
      ïðåîáðàçóþòñÿ ïî çàêîíó:
                       xi′ = ∑ γ ik xk ,x′j = ∑ γ jl xl .
     Ñëåäîâàòåëüíî, â íîâîì áàçèñå:
        aij′ = xi′x′j = ∑∑ γ ikγ jl xk xl = ∑∑ γ ikγ jl akl .

      Ýòî ïðåîáðàçîâàíèå ÷èñåë a kλ ñîîòâåòñòâóåò îïðåäå-
      ëåíèþ òåíçîðà 2-ãî ðàíãà.
 5.7. Äîêàçàòåëüñòâî òàêîå æå, êàê â çàäà÷å 5.6.
 5.8. Äîêàçàòåëüñòâî òàêîå æå, êàê â çàäà÷å 5.6.
 5.9. Ïîñêîëüêó [δ ij ] — òåíçîð, òî

                  δ ij′ = ∑∑ γ ikγ jl δ kl = ∑ γ ikγ jk = δ ij
                                               k


      (òàê êàê ìàòðèöà [γ ij ] îðòîãîíàëüíà).
5.10. Äîêàçàòåëüñòâî òàêîå æå, êàê â çàäà÷å 5.9.
5.11. Â íîâîì áàçèñå

      ρ ρ
      x′ ⋅ y′ = ∑ xi′yi′ = ∑ ( ∑ γ ik xk )(∑ γ il yl ) == ∑∑ xk yl ∑ γ ikγ il =
                                i       k          l             k    l       i
                                 ρ ρ
      = ∑∑ xk ylδ kl = ∑ xk yk = x ⋅ y.
         k    l                     k


5.12. Î÷åâèäíî, ÷òî ìîæíî çàïèñàòü:

              1                  1
     a ij =     ( a ij + a ji ) + ( a ij − a ji ) = bij + cij .
              2                  2
                                              1
     Íî òåíçîð TS = [ bij ] =                   [ a ij + a ji ] ÿâëÿåòñÿ ñèììåò-
                                              2
     ðè÷íûì,                 òàê            êàê        bij = b ji ,       à   òåíçîð

                            1
      TAS = [ cij ] =         [ a ij − a ji ] ÿâëÿåòñÿ àíòèñèììåòðè÷-
                            2
     íûì, òàê êàê cij = − c ji .

                                        139