Теория вероятностей. Михайлова И.В - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

10
Таким образом, вероятность попадания "случайно брошенной " точки в
определенное подмножество
Ω
пропорциональна мере этого подмножества и
не зависит от его расположения и формы .
Пример. В круг единичного радиуса бросается случайным образом точка.
Найти вероятность того, что эта точка попадает в круг радиуса 0,5: а) с тем же
центром; в) с центром в точке С и ОС =
1
2
OD, где O - центр окружности , OD-
радиус окружности .
a)
()
1
1
4
14
A
mesAS
A
mesS
π
π
Ω
⋅
Ρ====
Ω⋅
; b)
()
1
1
4
14
B
mesBS
B
mesS
π
π
Ω
⋅
Ρ====
Ω⋅
т.е. очевидно
(
)
(
)
AB
Ρ=Ρ , так как
.
mesAmesB
=
Задачи для самостоятельного решения.
1. Поступления каждого из двух сигналов в приемник равновозможны и
независимы в любой момент промежутка времени Т . Определить вероятность
того, что приемник будет "забит", что происходит в том случае, когда проме-
жуток времени между моментами поступления обоих сигналов меньше
T
τ
<
.
2. Два парохода должны в течение суток подойти к одному и тому же
причалу. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется
ожидать освобождения причала , если время стоянки первого парохода один
час, второго - два часа, и каждый из них независимо друг от друга появляется у
причала в случайный момент времени в течение данных суток .
3. В круг вписан квадрат. Точка наудачу бросается в круг . Найти вероят-
ность того, что она попадет в квадрат.
4. В квадрат с вершинами (0;0), (0;1), (1;0), (1;1) наудачу брошена точка
М . Пусть
(
)
,
ξη
будут ее координаты . Найти вероятность того, что корни урав-
нения
2
xx
ξη
++
= 0 а) действительны ; в) оба положительны .
5. Какова вероятность того, что сумма двух независимым образом наугад
взятых положительных чисел, каждое из которых не больше единицы , не пре-
взойдет единицы , а их произведение будет не больше 2/9?
6. Пусть
ξ
и
η
определены так же, как в задаче 4. Для
(
)
0;1
z∈ найти ве-
роятность того, что : а)
(
)
z
ξη
Ρ−<
; в)
(
)
z
ξη
Ρ<
; c)
(
)
(
)
min,
z
ξη
Ρ<
;
d)
(
)
(
)
max,
z
ξη
Ρ<
; е)
()
1
2
z
ξη

Ρ+<


.
§ 3. Свойства вероятностей случайных событий . Условная вероятность .
Стохастически независимые случайные события
Перечислим ряд свойств вероятностей случайных событий , которые яв-
ляются фактически математическим отражением основных свойств частоты .
1. Вероятность достоверного события равна единице
(
)
1.
ΡΩ=
Заметим, что в общей модели случайного опыта это утверждение являет-
ся аксиомой нормировки. 
                                                      10
        Т ак им образом, вероятность попад ания "случ айно брош енной" точ к и в
опред еленное под множество Ω пропорциональна мере этого под множества и
независитотег о расположения и ф ормы .
        Пример. В к руг ед инич ного рад иуса бросается случ айны мобразомточ к а.
Н айти вероятность того, ч то эта точ к а попад аетв к руг рад иуса 0,5: а) стемже
                                                   1
центром; в) с центромв точ к е С и О С = OD, г д е O - центр ок ружности, OD-
                                                   2
рад иусок руж ности.
                                         1                                1
                     mesA S A π ⋅ 4 1                        mesB S B π ⋅ 4 1
        a) Ρ ( A ) =       =        =       = ; b) Ρ ( B ) =     =   =      = ,
                     mesΩ SΩ π ⋅ 1 4                         mesΩ SΩ π ⋅ 1 4
т.е. оч евид но Ρ ( A ) = Ρ ( B ) , так к ак mesA = mesB.
        Зад ач ид ля самостоятельного реш ения.
        1. Поступления к ажд ого из д вух сиг налов в приемник равновозможны и
независимы в любой моментпромежутк а времени Т . О пред елить вероятность
того, ч то приемник буд ет"забит", ч то происх од итв том случ ае, к ог д а проме-
жуток времени межд умоментами поступления обоих сигналовменьш е τ < T .
        2. Д ва парох од а д олжны в теч ение суток под ойти к од ному и тому же
прич алу. О пред елить вероятность тог о, ч то од ному из парох од ов прид ется
ожид ать освобожд ения прич ала, если время стоянк и первого парох од а од ин
ч ас, второго - д ва ч аса, и к ажд ы й из них независимо д руг отд руга появляется у
прич ала вслуч айны й моментвремени втеч ениед анны х суток .
        3. В к руг вписан к вад рат. Т оч к а науд ач у бросается вк руг. Н айти вероят-
ностьтого, ч то она попад етвк вад рат.
        4. В к вад ратс верш инами (0;0), (0;1), (1;0), (1;1) науд ач у брош ена точ к а
М . Пусть (ξ ,η ) буд утее к оорд инаты . Н айти вероятностьтого, ч то к орни урав-
нения x2 + ξ x + η = 0 а) д ействительны ; в) оба полож ительны .
      5. К ак ова вероятность того, ч то сумма д вух независимы мобразомнаугад
взяты х полож ительны х ч исел, к ажд ое из к оторы х не больш е ед иницы , не пре-
взойд етед иницы , а их произвед ениебуд етнебольш е2/9?
      6. Пусть ξ и η опред елены так же, к ак в зад ач е4. Д ля z ∈ ( 0;1) найти ве-
роятностьтого, ч то: а) Ρ ( ξ − η < z ) ; в) Ρ (ξη < z ) ; c) Ρ ( min (ξ ,η ) < z ) ;
                                       1               
       d) Ρ ( max (ξ ,η ) < z ) ; е) Ρ  (ξ + η ) <   z .
                                       2               

      § 3. Свойства вероятностей случ айны х собы тий. У словная вероятность.
Стох астич еск и независимы еслуч айны есобы тия

       Переч ислим ряд свойств вероятностей случ айны х собы тий, к оторы е яв-
ляются ф ак тич еск и математич еск имотражениемосновны х свойствч астоты .
       1. В ероятностьд остоверного собы тия равна ед инице Ρ ( Ω ) = 1.
       Заметим, ч то вобщ ей мод ели случ айного опы та это утвержд ение являет-
ся ак сиомой нормировк и.

Страницы