Теория вероятностей. Михайлова И.В - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

11
2. Вероятность невозможного события равна нулю
(
)
0.
Ρ∅=
3. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1
(
)
(
)
1.
AA
Ρ+Ρ=
4.Свойство монотонности вероятностной меры :
,
∈Α
и
(
)
(
)
.
ABAB
⊂⇒Ρ≤Ρ
5.
(
)
01,.
AA
≤Ρ≤∈Α
6.
()
()
()
1
1111
...1.
nnn
n
kkkjk
kkjnkk
AAAAA
−
=≤<≤==

Ρ=Ρ−Ρ++−Ρ


∑∑
I
UI
Условной вероятностью события
A
при условии , что событие В про -
изошло, называется отношение вероятности совместного осуществления этих
событий к вероятности того события, которое произошло
()
(
)
()
B
AB
A
B
Ρ
Ρ=
Ρ
I
,
(
)
0.
B
Ρ>
Можно показать , что вероятность одновременного осуществления п со-
бытий ( п = 1,2,...)
()()()()
1
112
1
123
1
...
n
k
k
n
kAAAn
A
k
AAAAA
−
=
=

Ρ=Ρ⋅Ρ⋅Ρ⋅⋅Ρ


I
I
I
, если
1
0.
n
k
k
A
=

Ρ≠


I
События
{
}
1
n
k
k
A
=
стохастически независимы , если для любого подмноже-
ства
12
,,...,
s
kkk
AAA
(
)
2
sn
≤≤
имеет место равенство
()
11
.
jj
s
s
kk
jj
AA
==

Ρ=Ρ


∏I
Таким образом, для выяснения стохастической независимости событий
необходимо проверить выполнение
21
n
n
−−
условий .
События
{
}
1
n
k
k
A
=
попарно независимы , если стохастически независимы
любые два события этой совокупности , т.е. необходимо проверить выполнение
2
n
C
условий . Это означает, что попарная независимость является более слабым
условием.
Пример. Понимая под надежностью некоторой электрической схемы ве-
роятность безотказной работы этой схемы в течение контрольного промежутка
времени и, учитывая свойства вероятностей случайных событий , решим сле-
дующую задачу.
Найти надежность
(
)
hp
электрической схемы , состоящей из
n
идентич -
ных элементов, которые выходят из строя независимо друг от друга, и надеж -
ность каждого равна
(
)
,0;1
pp∈ в случае
а) последовательного соединения этих элементов;
b) параллельного соединения.
a)
(
)
0
n
n
hpp
→∞
=→
, т.е. нанизывая последовательно даже очень хоро -
шие элементы , мы можем загубить этот участок цепи.
b)
(
)
(
)
111
n
n
hpp
→∞
=−−→
, т.е. мы можем повысить надежность данно-
го участка цепи, имея достаточно большое количество элементов, возможно и 
                                                     11
       2. В ероятностьневозможного собы тия равна нулю Ρ ( ∅ ) = 0.
       3. Сумма вероятностей противоположны х собы тий равна 1
                   ( )
       Ρ ( A ) + Ρ A = 1.
     4.Свойство         монотонности              вероятностной           меры :       A, B ∈ Α       и
A ⊂ B ⇒ Ρ ( A) ≤ Ρ ( B ).
     5. 0 ≤ Ρ ( A) ≤ 1, A ∈ Α.
             n      n                                                            n −1           
      6. Ρ  U Ak  = ∑ Ρ ( Ak ) − ∑ Ρ ( Ak I A j ) + ... + ( −1) Ρ  I Ak .
                                                                                           n


             k =1  k =1              1≤k < j ≤ n                                       k =1 
      У словной вероятностью собы тия A при условии, ч то собы тие В про-
изош ло, назы вается отнош ение вероятности совместного осущ ествления этих
собы тий к вероятности того собы тия, к отороепроизош ло
                   Ρ( A I B)
      Ρ B ( A) =              , Ρ ( B ) > 0.
                     Ρ( B)
      М ожно пок азать, ч то вероятность од новременног о осущ ествления п со-
бы тий (п = 1,2,...)
         n                                                                                   n    
      Ρ  I Ak  = Ρ ( A1 ) ⋅ Ρ A1 ( A2 ) ⋅ Ρ A1I A2 ( A3 ) ⋅ ... ⋅ Ρ n −1 ( An ) , если Ρ  I Ak  ≠ 0.
         k =1                                                      I Ak                      k =1 
                                                            k =1


       Собы тия { Ak }k =1 стох астич еск и независимы , если д ля любого под множе-
                          n


                                                                   s    
                                                                                        ( )
                                                                             s
ства Ak1 , Ak2 ,..., Ak s ( 2 ≤ s ≤ n ) имеетместо равенство Ρ  I Ak j  = ∏ Ρ Ak j .
                                                                   j =1  j =1
        Т ак им образом, д ля вы яснения стох астич еск ой независимости собы тий
необх од имо проверитьвы полнение 2n − 1 − n условий.
        Собы тия { Ak }k =1 попарно независимы , если стох астич еск и независимы
                             n


любы е д ва собы тия этой совок упности, т.е. необх од имо проверитьвы полнение
Cn2 условий. Э то означ ает, ч то попарная независимость является более слабы м
условием.
        Пример. Понимая под над ежностью нек оторой элек трич еск ой сх емы ве-
роятностьбезотк азной работы этой сх емы втеч ение к онтрольног о промежутк а
времени и, уч иты вая свойства вероятностей случ айны х собы тий, реш им сле-
д ующ ую зад ач у.
        Н айти над еж ность h ( p ) элек трич еск ой сх емы , состоящ ей из n ид ентич -
ны х элементов, к оторы е вы х од ятиз строя независимо д руг отд руг а, и над еж-
ностьк ажд ог о равна p, p ∈ ( 0;1) вслуч ае
        а) послед овательного соед инения этих элементов;
        b) параллельного соед инения.
        a) h ( p ) = p n   n →∞
                                   → 0 , т.е. нанизы вая послед овательно д аже оч ень х оро-
ш иеэлементы , мы можемзагубитьэтотуч асток цепи.
        b) h ( p ) = 1 − (1 − p )         →1 , т.е. мы можемповы ситьнад ежностьд анно-
                                   n
                                        n →∞
г о уч астк а цепи, имея д остаточ но больш ое к олич ество элементов, возможно и

Страницы