Теория вероятностей. Михайлова И.В - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

13
6. Предлагается два способа дублирования последовательно соединенных
пяти элементов: дублируется вся схема или дублируется каждый элемент.
Сравнить эффективности (надежности ) этих способов дублирования. Заметим,
что дублирование некоторой схемы (элемента ) означает параллельное подклю -
чение аналогичной схемы (элемента ), которая работает независимо от исход -
ной .
7. События
12
,,...,
n
AAA
стохастически независимы и равновероятны . Най -
ти вероятность : а) появления хотя бы одного из этих событий ; b) не появления
всех этих событий ; с) появления только одного из них ; d) появления только
1
A
.
8. Выбирают наудачу один член разложения определителя п - го порядка.
Какова
n
Ρ
вероятность того, что он не содержит элементов главной диагонали?
Найти предел вероятности
n
Ρ
при
n
→∞
.
9. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает
ее наудачу. Определить вероятность того, что ему придется звонить не более,
чем в 3 места . Как изменится вероятность , если известно, что последняя цифра
нечетная?
10. Брошены независимым образом две игральные кости . Положим
A
-
число очков, выпавшее на первой кости , делится на
l
,
B
- на второй кости де-
лится на
l
,
l
C
- сумма очков, выпавших на первой и второй костях , делится
на
l
. Установить , являются ли стохастически независимыми события а)
2
A
и
2
C
;
b )
A
и
k
B
для различных
l
и
k
; с)
4
A
и
4
C
; d)
22
,
AB
и
2
C
.
11. Вероятность того, что письмо в столе, равна р, причем с равной веро -
ятностью письмо может находиться в любом из 8 ящиков стола. Было просмот-
рено 7 ящиков, но письмо не нашли. Какова вероятность того, что письмо в
восьмом ящике?
12. Бросают три кости . Какова вероятность того, что хотя бы на одной из
них выпадает одно очко, если на всех трех костях выпали разные грани?
13.Известно, что при бросании 10 костей появилась по крайней мере одна
единица. Какова вероятность того, что появились две или более единицы ?
§ 4. Формула полной вероятности . Формула Байеса
Пусть события
12
,,...,
n
HHH
образуют разбиение множества исходов
Ω
:
1. ,
ij
HHij
=∅≠
I ;
2.
1
n
i
i
H
=
=Ω
U
,
т.е. в результате опыта одно и только одно из этих событий обязательно проис-
ходит. Тогда вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятно-
сти
()()()
1
i
n
iH
i
AHA
=
Ρ=Ρ⋅Ρ
∑
.
События
12
,,...,
n
HHH
часто называют гипотезами, а вероятности
(
)
(
)
(
)
12
,,...,
n
HHH
ΡΡΡ
- априорными вероятностями гипотез . Формула Байеса 
                                                13
        6. Пред лагается д ва способа д ублирования послед овательно соед иненны х
пяти элементов: д ублируется вся сх ема или д ублируется к ажд ы й элемент.
Сравнить эф ф ек тивности (над ежности) этих способов д ублирования. Заметим,
ч то д ублирование нек оторой сх емы (элемента) означ аетпараллельное под к лю-
ч ение аналогич ной сх емы (элемента), к оторая работаетнезависимо отисх од -
ной.
        7. Собы тия A1 , A2 ,..., An стох астич еск и независимы и равновероятны . Н ай-
ти вероятность: а) появления х отя бы од ного из этих собы тий; b) не появления
всех этих собы тий; с) появления тольк о од ного из них ; d) появления тольк о A1 .
        8. В ы бираютнауд ач у од ин ч лен разложения опред елителя п -го поряд к а.
К ак ова Ρn вероятностьтого, ч то он несод ержитэлементовглавной д иагонали?
Н айти пред ел вероятности Ρ n при n → ∞ .
        9. А бонентзабы лпослед нюю циф ру номера телеф она и поэтому набирает
ее науд ач у. О пред елить вероятность тог о, ч то ему прид ется звонить не более,
ч емв 3 места. К ак изменится вероятность, если известно, ч то послед няя циф ра
неч етная?
        10. Брош ены независимы м образом д ве игральны е к ости. Положим Al -
ч исло оч к ов, вы павш ее на первой к ости, д елится на l , Bl - на второй к ости д е-
лится на l , Cl - сумма оч к ов, вы павш их на первой и второй к остях , д елится
наl . У становить, являются ли стох астич еск и независимы ми собы тия а) A2 и C2 ;
b ) Al и Bk д ля различ ны х l и k ; с) A4 и C4 ; d) A2 , B2 и C2 .
        11. В ероятностьтого, ч то письмо в столе, равна р, прич емс равной веро-
ятностью письмо можетнах од иться в любомиз 8 ящ ик овстола. Б ы ло просмот-
рено 7 ящ ик ов, но письмо не наш ли. К ак ова вероятность того, ч то письмо в
восьмомящ ик е?
        12. Бросаюттри к ости. К ак ова вероятность того, ч то х отя бы на од ной из
них вы пад аетод но оч к о, если на всех трех к остях вы пали разны еграни?
        13.И звестно, ч то при бросании 10 к остей появиласьпо к райней мереод на
ед иница. К ак ова вероятностьтог о, ч то появилисьд веили болееед иницы ?

         § 4. Ф ормула полной вероятности. Ф ормула Байеса

        Пусть собы тия H1 , H2 ,..., H n образуютразбиение множества исх од ов Ω :
1. H i I H j = ∅, i ≠ j ;
   n
2. U H i = Ω ,
  i =1
т.е. врезультатеопы та од но и тольк о од но из этих собы тий обязательно проис-
х од ит. Т ог д а вероятностьсобы тия А вы ч исляется по ф ормулеполной вероятно-
сти
                     n
         Ρ ( A ) = ∑ Ρ ( H i ) ⋅ Ρ Hi ( A ) .
                    i =1
        Собы тия H1 , H 2 ,..., H n ч асто назы вают г ипотезами, а вероятности
Ρ ( H1 ) , Ρ ( H 2 ) ,..., Ρ ( H n ) - априорны ми вероятностями гипотез. Ф ормула Байеса

Страницы