Теория вероятностей. Михайлова И.В - 14 стр.

                                                           14
                        Ρ ( H j ) ⋅ Ρ H j ( A)
       ΡA (H j ) =      n
                                                 , гд е j = 1, n
                       ∑ Ρ ( H ) ⋅ Ρ ( A)
                       i =1
                                 i     Hi


         д ает возможность произвести пересч ет вероятностей гипотез
H 1 , H 2 ,..., H n . У словны е вероятности Ρ A ( H j ) , j = 1, n принято назы вать апосте-
риорны ми вероятностями гипотез.
        У словно зад ач и, реш аемы е по ф ормулам, можно разбить на д ва типа. За-
д ач и первого типа имеютд ело сэк спериментами, к оторы есостоятиз д вух эта-
пови оба этапа случ айны . Т огд а вк ач ествесобы тий, образующ их разбиение Ω ,
берутсобы тия, к оторы еполностью описы ваютпервы й этап эк сперимента.
        Зад ач а 1. И меются три од инак овы е с вид у партии д еталей. В первой, из-
г отовленной завод ом № 1, 5% брак а, во второй, изготовленной завод ом № 2,
3% брак а, а в третьей (завод № 3) - 10% брак а. Н аугад вы бирается од на из пар-
тий, а затемиз этой партии науд ач у вы бирается од на д еталь. О пред елить веро-
ятностьтого, ч то она брак ованная.
        Реш ение. Первы й этап опы та - вы бор науд ач у од ной из трех партий д ета-
лей, второй - вы борнауд ач уд етали из вы бранной партии. О ч евид но, ч то
собы тия H i - вы брана партия д еталей, изг отовленная завод омi , i = 1, 2,3, обра-
                                                                 1
зуют разбиение Ω и вероятности Ρ ( H i ) = , i = 1,2,3. Т огд а вероятность вы -
                                                                 3
брать брак ованную д еталь (собы тие А ) по ф ормуле полной вероятности буд ет
                  1
                  3
                   (                                       )    1
равна Ρ ( A ) = Ρ H1 ( A) + Ρ H 2 ( A) + ΡH 3 ( A ) = ( 0,05 + 0,03 + 0,10 ) = 0,06.
                                                                3
        Зад ач а 2. В ероятность д ля изд елий нек оторог о производ ства уд овлетво-
рять станд арту равна 0,96. Пред лаг ается упрощ енная система испы таний, д аю-
щ ая положительны й результат с вероятностью 0,98 д ля изд елий, уд овлетво-
ряющ их станд арту; а д ля изд елий, к оторы е не уд овлетворяютстанд арту, с ве-
роятностью 0,05. К ак ова вероятность того, ч то изд елие, вы д ержавш ее испы та-
ние,       уд овлетворяет станд арту?                        И нтересующ ая        нас      вероятность
                         Ρ ( H1 ) ⋅ Ρ H1 ( A )                      0,96 ⋅ 0,98
Ρ A ( H1 ) =                                                =                          ≈ 1.
             Ρ ( H1 ) ⋅ Ρ H1 ( A ) + Ρ ( H 2 ) ⋅ Ρ H 2 ( A ) 0,96 ⋅ 0,98 + 0,04 ⋅ 0,05
        О тсюд а вы вод : в томслуч ае, к ог д а упрощ енная система испы таний д ает
положительны й результат, д етальс вероятностью, близк ой к ед инице, является
станд артной. Д руг ими словами, д анная система к онтроля является х орош им
"ф ильтром"д ля брак ованны х изд елий.
        В зад ач ах второг о типа появляются эк сперименты , условия провед ения
к оторы х точ но не известны , но о них (условиях ) можно сд елать n иск люч а-
ющ их д руг д руга пред положений (гипотез).
        Зад ач а 3. И з сосуд а, сод ержащ его п ш аров, берутнауд ач у од ин. О пред е-
лить вероятность того, ч то он белы й, если все пред положения о первонач аль-
номч ислебелы х ш аровравновозможны .
        Реш ение. В зад ач е неизвестны ми д ля нас буд утусловия провед ения вы -
бора (ч исло белы х ш аров в сосуд е), относительно к оторы х мы можем вы д ви-
нуть (п + 1) гипотезу H 0 , H1 ,..., H n , г д е H i означ аетi белы х ш аров в сосуд е, i=