Теория вероятностей. Михайлова И.В - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

8
b)
(
)
(
)
(
)
.
ABABABAB
=
UIUIII
6. Пусть число исходов равно
.
n
<∞
Указать минимальное и максималь-
ное возможные значения для числа всех случайных событий .
7. Может ли быть : a) число исходов конечно, а число всех случайных со-
бытий бесконечно; b) число всех случайных событий конечно, а число исходов
бесконечно; c) число исходов больше, чем число всех событий .
В последующих пунктах мы рассмотрим примеры вероятностных про-
странств
<ΩΑΡ>
, объединенных интуитивным понятием равновозможности
результатов опыта . .
2.2. Классическая схема (модель). Рассмотрим опыт G, число возможных
исходов которого конечно
Ω<∞
и все исходы равновозможны , т.е. непред -
почтительны друг перед другом или имеют одинаковые шансы к появлению .
Тогда
()
A
AΡ=
Ω
,
.
A
⊂Ω
Обратимся к примеру п .2.1. В первой модели вероятность того, что вы -
бранная наудачу кость окажется дублем
()
71
,
284
A
A
Ρ===
Ω
т.е. в длинной серии испытаний (каждый раз выбираем случайным образом од -
ну кость из тщательно перемешанного полного набора ) примерно четверная
часть из них закончится появлением дубля.
В этой же модели
()
41
.
287
B
B
Ρ===
Ω
Во второй модели два возможных исхода опыта не являются равновоз -
можными, т.е. в длинной серии независимых испытаний не дубль появляется
чаще, чем дубль. В этой модели можно воспользоваться только статистическим
способом задания вероятностей элементарных событий .
Поучительным примером невозможности выбора и обоснования
вероятностной модели на основании априорных не физических соображений
является разнообразие вероятностных распределений для различных способов
размещения физических частиц по ячейкам, например, электронов по орбитам.
До настоящего времени известно три модели:
Максвела - Больцмана - все
rr
n
An
=
размещений
r
различных частиц по
n
различным ячейкам равновероятны .
Бозе-Энштейна - все
1
rr
nnr
CC
−+
= способов заполнения
n
различных ячеек
r
неразличимыми частицами равновероятны (в статистической механике пока-
зано, что это предположение справедливо для фотонов, атомных ядер и атомов,
содержащих четное число элементарных частиц )
Ферми- Дирака - все
r
n
C
способов распределения равновероятны (эта мо -
дель применима к электронам, нейтронам и протонам).
Задачи для самостоятельного решения
1. Куб , все грани которого окрашены , распилен на тысячу кубиков одина-
                                             8

                   (      ) (       )
      b) ( A U B ) I A U B I A I B = A I B.
        6. Пусть ч исло исх од ов равно n < ∞. У к азать минимальное и мак сималь-
ноевозможны езнач ения д ля ч исла всех случ айны х собы тий.
        7. М ожетли бы ть : a) ч исло исх од овк онеч но, а ч исло всех случ айны х со-
бы тий беск онеч но; b) ч исло всех случ айны х собы тий к онеч но, а ч исло исх од ов
беск онеч но; c) ч исло исх од овбольш е, ч емч исло всех собы тий.
        В послед ующ их пунк тах мы рассмотрим примеры вероятностны х про-
странств < Ω, Α, Ρ > , объ ед иненны х интуитивны мпонятиемравновозможности
результатовопы та. .
        2.2. К лассич еск ая сх ема (мод ель). Рассмотримопы тG, ч исло возможны х
исх од ов к оторого к онеч но Ω < ∞ и все исх од ы равновозможны , т.е. непред -
поч тительны д руг перед д руг ом или имеютод инак овы е ш ансы к появлению.
Т ог д а
                  A
         Ρ ( A) =   , A ⊂ Ω.
                  Ω
        О братимся к примеру п.2.1. В первой мод ели вероятность того, ч то вы -
                                                      A 7 1
бранная науд ач у к остьок ажется д ублем Ρ ( A ) =     =      = ,
                                                      Ω 28 4
т.е. в д линной серии испы таний (к ажд ы й раз вы бираемслуч айны мобразомод-
ну к ость из тщ ательно перемеш анного полного набора) примерно ч етверная
ч астьиз них зак онч ится появлениемд убля.
                                B    4 1
В этой жемод ели Ρ ( B ) =        =    = .
                               Ω 28 7
        В о второй мод ели д ва возможны х исх од а опы та не являются равновоз-
можны ми, т.е. в д линной серии независимы х испы таний не д убль появляется
ч ащ е, ч емд убль. В этой мод ели можно воспользоваться тольк о статистич еск им
способомзад ания вероятностей элементарны х собы тий .
           Поуч ительны м примером невозможности вы бора и обоснования
вероятностной мод ели на основании априорны х не ф изич еск их соображений
является разнообразие вероятностны х распред елений д ля различ ны х способов
размещ ения ф изич еск их ч астиц по яч ейк ам, например, элек троновпо орбитам.
Д о настоящ его времени известно три мод ели:
        М ак свела-Больцмана - все Anr = n r размещ ений r различ ны х ч астиц по n
различ ны мяч ейк амравновероятны .
        Бозе-Э нш тейна - все Cnr = Cnr−1+r способов заполнения n различ ны х яч еек
 r неразлич имы ми ч астицами равновероятны (в статистич еск ой мех аник епок а-
зано, ч то это пред положениесправед ливо д ля ф отонов, атомны х яд ер и атомов,
сод ержащ их ч етноеч исло элементарны х ч астиц)
        Ф ерми-Д ирак а - все Cnr способов распред еления равновероятны (эта мо-
д ельприменима к элек тронам, нейтронами протонам).
        Зад ач ид ля самостоятельного реш ения
        1. К уб, всеграни к оторого ок раш ены , распилен на ты сяч у к убик овод ина-

Страницы