Теория вероятностей. Михайлова И.В - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

18
(
)
(
)
{
}
:
Fxx
ξ
ωξω
=Ρ<
, коротко
{
}
,
x
ξΡ<
.
xR
Ф .р. любой с. в. обладает тремя характеристическими свойствами:
1) неубывающая;
2) непрерывна слева;
3)
(
)
lim1;
x
Fx
→+∞
=
(
)
lim0.
x
Fx
→−∞
=
С помощью этой функции можно вычислить
вероятность попадания значений с. в. в любой промежуток , так как
{
}
(
)
(
)
0,;
bFbFbbR
ξξ
ξ
Ρ==+−∈
[
)
{
}
(
)
(
)
,.
abFbFa
ξξ
ξΡ∈=− Тогда, например,
[
]
{
}
[
)
{
}
{
}
(
)
(
)
;;0.
ababbFbFa
ξξ
ξξξΡ∈=Ρ∈+Ρ==+−
По виду ф.р. (распределения вероятностей ) можно осуществить класси-
фикацию с. в.: дискретные с.в.- ф .р. является кусочно-постоянной и представима
в виде суммы
(
)
:
,
j
j
jxx
Fxp
ξ
<
=
∑
,
xR
∈
где
12
,,...
xx
- возможные значения с. в.. a.
12
,,...
pp - соответствующие ве-
роятности . Таблица
12
12
....
....
xx
pp
ξ
Ρ
, где : l)
0,
j
p
≥
1,2,...
j
=
2)
1
j
j
p
=
∑
называется рядом распределения вероятностей с. в.
ξ
.
Абсолютно-непрерывные с.в.- ф .р. представима в виде
()()
x
Fxfudu
ξξ
−∞
=
∫
,
.
xR
Функция
(
)
fx
ξ
называется плотностью распределения вероятностей и
обладает следующими характеристическими свойствами : 1)
(
)
0,
fx
ξ
≥
;
xR
∈
2)
()
1.
fxdx
ξ
+∞
−∞
=
∫
Сингулярные с.в. - 1.
(
)
Fx
ξ
- непрерывна на
;
R
2.
()
0
d
Fx
dx
ξ
=
п.в. на
.
R
Определение. Начальным моментом порядка k с.в.
ξ
называется число
()()
1
,
def
kkk
k
R
MLdPLxdP
ξ
µξξ
Ω
==
=
∫∫
(
)
1
,,,
k
Lξ
∈ΩΑΡ
где
(
)
1
,,
L
ΩΑΡ
- совокуп-
ность всех абсолютно интегрируемых относительно меры
Ρ
с.в. на
,,.
ΩΑΡ
В
частности
,
k
kjj
j
xp
µ
=⋅
∑
где
ξ
- дискретная с. в. , если ряд абсолютно сходится
и
()
,
k
k
xfxdx
ξ
µ =⋅
∫
где
ξ
- абсолютно-непрерывная с. в., если интеграл абсо-
лютно сходится,
k
∈Ν
. Начальный момент 1-го порядка принято называть ма -
тематическим ожиданием с. в.
ξ
( средним значением ). 
                                                                   18
        Fξ ( x ) = Ρ {ω : ξ ( ω ) < x} , к оротк о Ρ {ξ < x} , x ∈ R.

       Ф .р. любой с.в. облад аеттремя х арак теристич еск ими свойствами:
       1) неубы вающ ая;
       2) непреры вна слева;
       3) lim F ( x ) = 1; lim F ( x ) = 0. С помощ ью этой ф унк ции можно вы ч ислить
            x →+∞                         x →−∞
вероятность попад ания знач ений с.в. в любой промежуток , так к ак
Ρ {ξ = b} = Fξ ( b + 0 ) − Fξ ( b ) , b ∈ R; Ρ {ξ ∈ [ a, b )} = Fξ ( b ) − Fξ ( a ) . Т огд а, например,
Ρ {ξ ∈ [ a; b]} = Ρ {ξ ∈ [ a; b )} + Ρ {ξ = b} = Fξ ( b + 0 ) − Fξ ( a ) .

       По вид у ф .р. (распред еления вероятностей) можно осущ ествить к ласси-
ф ик ацию с.в.: д иск ретны ес.в.- ф .р. является к усоч но-постоянной и пред ставима
ввид есуммы
        Fξ ( x ) = ∑ p j , x ∈ R ,
                          j :x j < x

     гд е x1 , x2 ,... - возможны е знач ения с.в.. a. p1 , p2 ,... - соответствующ ие ве-
роятности. Т аблица
      ξ x1 x2 ....
                        , г д е: l) p j ≥ 0, j = 1,2,... 2) ∑ p j = 1
      Ρ p1 p2 ....                                          j

     назы вается ряд омраспред еления вероятностей с.в. ξ .
     А бсолютно-непреры вны ес.в.- ф .р. пред ставима ввид е
                          x
        Fξ ( x ) =        ∫ f ( u )du , x ∈ R.
                                   ξ
                          −∞

       Ф унк ция fξ ( x ) назы вается плотностью распред еления вероятностей и
облад аетслед ующ ими х арак теристич еск имисвойствами: 1) fξ ( x ) ≥ 0, x ∈ R;
            +∞
       2)
            −∞
                ∫ f ( x )dx = 1.
                      ξ


                                                          d
       Сингулярны ес.в. - 1. Fξ ( x ) - непреры вна на R; 2. Fξ ( x ) = 0 п.в. на R.
                                                          dx
       О пред еление. Н ач альны м моментом поряд к а k с.в. ξ назы вается ч исло
                def
µk = M ξ    k
                = ( L ) ∫ξ
                                   k
                                       dP = ( L ) ∫ x k dPξ , ξ k ∈ L1 ( Ω, Α, Ρ ) , гд е L1 ( Ω, Α, Ρ ) - совок уп-
                          Ω                       R1

ность всех абсолютно интегрируемы х относительно меры Ρ с.в. на Ω, Α, Ρ . В
ч астности µ k = ∑ x kj ⋅ p j , гд еξ - д иск ретная с.в. , если ряд абсолютно сх од ится
                               j


и µ k = ∫ x k ⋅ fξ ( x )dx, гд е ξ - абсолютно-непреры вная с.в., если интеграл абсо-

лютно сх од ится, k ∈ Ν . Н ач альны й момент1-г о поряд к а принято назы вать ма-
тематич еск иможид аниемс.в. ξ ( сред нимзнач ением).

Страницы