Теория вероятностей. Михайлова И.В - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

19
Центральным моментом порядка k с.в.
ξ
называется число
(
)
k
k
MM
αξξ
=−, если указанное математическое ожидание существует,
k
∈Ν
.. Очевидно, что
1
0
α
(среднее отклонение от среднего равно нулю);
(
)
2
2
MM
αξξ
=− называется дисперсией с. в.
ξ
( характеристика разброса воз-
можных значений с. в. относительно среднего, что подтверждает неравенство
Чебышева
{}
2
D
pM
ξ
ξξε
ε
−≥≤ , где
0,
ε
>
2
D
ξα
=
).
Задача 1. Абсолютно-непрерывная с. в. имеет п. р. в.
()
()
()
1,
2
,
fxx
x
α
+∞
=Ι
.
xR
∈
Найти : а) коэффициент
α
; b) ф .р.; с)
(
)
{
}
2,3
p ξ ∈ ; d)
,
k
α
.
k
∈Ν
Исполь-
зуя характеристические свойства п. р. в., получаем
()
2
1
1
1
0,
dx
fxdx
xx
αααα
+∞
+∞+∞
−∞

==−=+=


∫∫
1
α
⇒=
;
b)
()
2
1
0,1
.
1
,1
x
x
Fx
dtx
x
tx
≤
=
−
=>
∫
Графики п.р.в. и ф .р.
с)
()
{}
()()()
3
33
2
22
2
11
2,332.
6
dx
pFFfxdx
xx
ξ

∈=−===−=


∫∫
d)
()
2
2
11
k
kkk
k
x
Mxfxdxdxxdx
x
µξ
+∞+∞+∞
−
−∞
=====+∞
∫∫∫
- расходится для
k
∈Ν
, значит, начальные, а следовательно, и центральные моменты не опреде-
лены .
Задача 2. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака
равна 0,1. Построить ряд распределения числа искаженных знаков в сообще-
нии, состоящем из 4-х независимо передаваемых знаков. Найти среднее и дис-
персию числа искажений при передаче одного сообщения.
Ряд распределения вероятностей с. в.
ξ
, означающей число искаженных
знаков из 4-х , имеет вид
f
F
1
1
1
1
x
x
                                                         19
       Ц ентральны м моментом поряд к а                        k       с.в.   ξ       назы вается   ч исло
α k = M ( ξ − M ξ ) , если ук азанное математич еск ое ожид ание сущ ествует,
                   k


k ∈ Ν .. О ч евид но, ч то α1 = 0 (сред нее отк лонение от сред него равно нулю);
α 2 = M (ξ − M ξ ) назы вается д исперсией с.в. ξ ( х арак теристик а разброса воз-
                   2


можны х знач ений с.в. относительно сред него, ч то под твержд аетнеравенство
Ч ебы ш ева
                                 Dξ
       p { ξ − M ξ ≥ ε } ≤ 2 , г д е ε > 0, Dξ = α 2 ).
                                  ε
       Зад ач а 1. А бсолютно-непреры вная с.в. имеетп.р.в.
                 α
        f ( x ) = 2 Ι (1,+∞ ) ( x ) , x ∈ R.
                 x

       Н айти : а) к оэф ф ициентα ; b) ф .р.; с) p {ξ ∈ ( 2,3)} ; d) α k , k ∈ Ν. И споль-
зуя х арак теристич еск иесвойства п.р.в., получ аем
       +∞              +∞                     +∞
                         dx        1
      ∫ f ( x )dx = α ∫1 x2  − x  = 0 + α = α , ⇒ α = 1;
                             = α
     −∞                                    1

                         0, x ≤ 1
                  x
     b) F ( x ) =  dt x − 1             .
                  ∫ t 2 =        , x > 1
                  1          x
     Граф ик и п.р.в. иф .р.
   f                                         F

   1                                                 1


                                     x                         1                      x
               1
                                                                                  3
                                                              dx  1 
                                                     3             3
       с) p {ξ ∈ ( 2,3)} = F ( 3) − F ( 2 ) = ∫ f ( x )dx = ∫ 2 =  −  = .
                                                                         1
                                              2             2 x    x2 6
                            +∞                      +∞        +∞
                                           xk
       d)   µk = M ξ k =∫−∞      x k f ( x ) dx =
                                        ∫1 x 2 dx = ∫1 x dx = +∞ - расх од ится д ля
                                                        k −2



k ∈ Ν , знач ит, нач альны е, а след овательно, и центральны е моменты не опред е-
лены .
       Зад ач а 2. При перед ач е сообщ ения вероятность иск ажения од ног о знак а
равна 0,1. Построить ряд распред еления ч исла иск аженны х знак ов в сообщ е-
нии, состоящ емиз 4-х независимо перед аваемы х знак ов. Н айти сред нее и д ис-
персию ч исла иск ажений при перед ач еод ног о сообщ ения.
       Ряд распред еления вероятностей с.в. ξ , означ ающ ей ч исло иск аженны х
знак овиз 4-х , имеетвид

Страницы