Теория вероятностей. Михайлова И.В - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

24
8. Случайный вектор
(
)
~
RK
ξ
r
. Найти плотность распределения вероят-
ности случайного вектора
ξ
r
и маргинальные плотности , если : 1)
K
- квадрат с
координатами вершин (-1;-1) , (-1; 1) , (1;-1) , (1;1); 2)
K
- квадрат с коорди-
натами вершин (-1;0) , (0;1) , (1;0) , (0;-1); 3)
K
- круг с центром в начале коор-
динат и радиусом равным 1.
9. Пусть случайный вектор
ξ
имеет независимые компоненты и a)
(
)
~,
k
ξλ
Π
1,
kn
=
; b)
[
]
~0,1,
k
Rξ
1,
kn
=
. Найти функцию распределения и
плотность распределения вероятностей с. в.
1
n
nk
k
S
ξ
=
=
∑
. В случае распределения
b) найти и построить график плотности распределения вероятностей
n
S
для
1,2,3.
n
=
10. Пусть
(
)
12
,,...,
n
ξξξξ
=
r
случайный вектор с независимыми компонен -
тами имеет абсолютно непрерывное распределение вероятностей . Найти плот-
ность распределения вероятностей с. в. a)
(
)
12
min,,...
n
ξξξ
; b)
(
)
12
max,,...
n
ξξξ
;
c)
1
2
ξ
ξ
; d)
12
ξξ
⋅
. Найти тип распределения, если
(
)
~
k
ξλ
Π и
(
]
~0,
k
Ra
ξ . Най-
ти числовые характеристики полученных с.в..
11. Найти распределение суммы
12
ξξ
+
, если
1
ξ
и
2
ξ
независимые с.в. и
a)
()()
12
1
2
FxFxarctgx
==+ ; b)
(
)
1
~5;1
Rξ − ;
(
)
2
~1;5
Rξ ;
c)
()()
12
1
2
a
fxfxe
a
−
==
(
)
0.
a
>
12. Может ли заданная функция быть плотностью распределения вероят-
ностей многомерного нормального распределения? Если да, то найти соответ-
ствующие параметры
µ
ur
и
∑
. Найти также маргинальные распределения.
1)
() ()()
(
)
2211
,12
22
fxyexpxy
π

=−−+−


;
2)
()
2
2
1,6
1
42
,exp
2,40,72
xxy
y
fxy
π

−+

=−




;
3)
()
()
22
11
,exp4613
22
fxyxyxy
π

=−++−+


.
13. Записать плотность распределения вероятностей случайного вектора
(
)
~,
n
ξµ
ΝΛ
rur
и найти функцию распределения, если
Λ
-диагональная матрица.
14. Дана плотность распределения вероятностей случайного вектора
(
)
12
,
ξξξ
=
r
:
()
()
22
11
,exp25
2
fxyxxyy
π

=−++


. Найти маргинальные рас-
пределения . Проверить стохастическую независимость компонент этого слу-
                                                    24
                               r
       8. Случ айны й век тор ξ ~ R ( K ) . Н айти плотность распред еления вероят-
                            r
ности случ айного век тора ξ и марг инальны е плотности, если : 1) K - к вад ратс
к оорд инатами верш ин (-1;-1) , (-1; 1) , (1;-1) , (1;1); 2) K - к вад ратс к оорд и-
натами верш ин (-1;0) , (0;1) , (1;0) , (0;-1); 3) K - к руг сцентромвнач алек оор-
д инатирад иусом равны м1.
                                          r
       9. Пусть случ айны й век тор ξ имеет независимы е к омпоненты и a)
ξ k ~ Π ( λ ) , k = 1, n ; b) ξ k ~ R [ 0,1] ,   k = 1, n . Н айти ф унк цию распред еления и
                                                              n
плотность распред еления вероятностей с.в. S n = ∑ξ k . В случ ае распред еления
                                                             k =1
b) найти и построить граф ик плотности распред еления вероятностей Sn д ля
n = 1, 2,3.
                          r
         10. Пусть ξ = ( ξ1 ,ξ 2 ,...,ξ n ) случ айны й век тор с независимы ми к омпонен-
тами имеетабсолютно непреры вное распред еление вероятностей. Н айти плот-
ность распред еления вероятностей с.в. a) min (ξ1 , ξ 2 ,...ξ n ) ; b) max (ξ1 , ξ2 ,...ξ n ) ;
    ξ
c) 1 ; d) ξ1 ⋅ ξ2 . Н айти тип распред еления, если ξ k ~ Π ( λ ) и ξ k ~ R ( 0, a ] . Н ай-
   ξ2
тич исловы ех арак теристик и получ енны х с.в..
         11. Н айти распред еление суммы ξ1 + ξ 2 , если ξ1 и ξ 2 независимы е с.в. и
                                 1
a)         F1 ( x ) = F2 ( x ) = + arctgx ;            b)     ξ1 ~ R ( −5;1) ; ξ 2 ~ R (1;5 ) ;
                                 2
                                x
                           1 −a
c) f1 ( x ) = f 2 ( x ) =     e    ( a > 0).
                          2a
         12. М ожетли зад анная ф унк ция бы ть плотностью распред еления вероят-
ностей многомерного uнор         r мальног о распред еления? Е сли д а, то найти соответ-
ствующ иепараметры µ и ∑ . Н айтитак жемаргинальны ераспред еления.

       1) f ( x , y ) =
                        1
                       2π
                                1
                                     (                   )
                           exp  − ( x − 1) + ( y − 2 )  ;
                                2
                                             2              2 

                                                              
                                   x 2
                                                xy      2 
                         1              − 1,6     +  y   
      2) f ( x , y ) =       exp  − 4          2         ;
                       2,4π               0,72          
                                                          
                                 1                                
                            exp  − ( x 2 + y 2 + 4 x − 6 y + 13 )  .
                         1
      3) f ( x , y ) =
                        2π       2                                
      13. Записать плотность распред еления вероятностей случ айног о век тора
r       ur
        (      )
ξ ~ Ν n µ , Λ и найти ф унк цию распред еления, если Λ -д иагональная матрица.
       14. Д ана плотность распред еления вероятностей случ айного век тора
r                                   1                        
                 f ( x , y ) = exp  − ( x 2 + 2 xy + 5 y 2 )  . Н айти маргинальны е рас-
                              1
ξ = (ξ1 , ξ2 ) :
                              π     2                        
пред еления. Проверить стох астич еск ую независимость к омпонент этого слу-

Страницы