Теория вероятностей. Михайлова И.В - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

26
(
)
(
)
{
}
(
)
(
)
(
)
,
exp,,
n
ixt
R
tMitedPx
ξ
ξ
ϕξ==
∫
r
rrrr
.
n
tR
∈
r
Эта функция обладает свойствами аналогичными свойствам 1-5 скаляр-
ной характеристической функции.
Задачи для самостоятельного решения
1. Найти х . ф . типовых распределений и вычислить все начальные момен -
ты .
2. С помощью свойств х . ф . найти законы распределения с. в.
1
n
k
k
ηξ
=
=
∑
, где
с.в.
12
,,...,
n
ξξξ
стохастически независимы , одинаково распределены и имеют a)
нормальный закон распределения; b) закон распределения Коши; c) биноми-
альный закон распределения; d) закон распределения Пуассона.
3. Доказать , что с.в.
ξ
имеет симметричное относительно нуля распреде-
ление
(
)
ξξ
=−
тогда и только тогда, когда х .ф .
(
)
t
ξ
ϕ вещественнозначна.
4. Могут ли следующие функции быть х . ф . некоторых с.в.: 1)
sin
t
;
2)
2
cos;
t
3)
it
e
; 4)
(
)
[]
(
)
1;1
1.
tt
−
−Ι Если да, то найти соответствующее распреде-
ление.
5.На вероятностном пространстве
,,
<ΩΑΡ>
, представляющем собой от-
резок
[
]
0,1
с
σ
-алгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебега, определена
с.в.
(
)
ξω
. Найти ее х . ф ., если:
()
1
2,0
2
1
21,1
2
ωω
ξω
ωω
≤≤
=
−<≤
;
()
1
1,0
3
12
0,
33
2
1,1
3
ω
ξωω
ω
≤≤
=<<
≤≤
.
6. Найти распределения , которым соответствуют следующие х .ф .: a)
2
t
e
−
;
b)
cos
t
; c)
2
cos;
t
d)
t
e
−
; e)
sin
t
t
; f)
2
1
1
t
+
; g)
1
1
it
−
.
§ 9 Предельные теоремы
Здесь мы будем рассматривать последовательности
{}
1
n
k
k
ξ
=
случайных
величин, наблюдаемых в одном и том же опыте
~,,
G
ΩΑΡ
. Ограничимся
случаем последовательности стохастически независимых с.в.
Классической для теории вероятностей является задача нахождения пре-
дельного распределения для последовательности сумм
{
}
1
,
n
n
S
∞
=
где
1
,.
n
nk
k
SnN
ξ
=
=∈
∑
Сформулируем следующие предельные теоремы .
Теорема 1.( Закон больших чисел). Рассмотрим последовательность 
                                                   26

                       ( { ( )})
            r           rr                  rr     r r
             ()
        ϕξr t = M exp i ξ , t                    ()
                                        i ( x ,t )
                                   = ∫ e dPξ x , t ∈ R n .
                                      Rn
       Э та ф унк ция облад аетсвойствами аналогич ны ми свойствам 1-5 ск аляр-
ной х арак теристич еск ой ф унк ции.
       Зад ач ид ля самостоятельного реш ения
       1. Н айти х .ф . типовы х распред елений и вы ч ислить все нач альны е момен-
ты .
                                                                                         n
       2. С помощ ью свойств х .ф . найти зак оны распред еления с.в. η = ∑ξ k , гд е
                                                                                        k =1
с.в. ξ1 ,ξ 2 ,...,ξ n стох астич еск и независимы , од инак ово распред елены и имеют a)
нормальны й зак он распред еления; b) зак он распред еления К ош и; c) биноми-
альны й зак он распред еления; d) зак он распред еления Пуассона.
        3. Д ок азать, ч то с.в. ξ имеетсимметрич ноеотносительно нуля распред е-
ление (ξ = −ξ ) тог д а и тольк о тогд а, к огд а х .ф . ϕξ ( t ) вещ ественнознач на.
        4. М огут ли след ующ ие ф унк ции бы ть х .ф . нек оторы х с.в.: 1) sin t ;
2) cos t 2 ; 3) eit ; 4) (1 − t ) Ι[ −1;1] ( t ) . Е сли д а, то найти соответствующ ее распред е-
ление.
      5.Н а вероятностном пространстве < Ω, Α, Ρ > , пред ставляющ емсобой от-
резок [ 0,1] с σ -алгеброй борелевск их под множеств и мерой Л ебега, опред елена
                                                                                         1
                                                                              1,0  ≤ ω ≤
                                                              1                          3
                                                 2ω ,0 ≤ ω ≤               
                                                                              1          2
с.в. ξ ( ω ) . Н айтиеех .ф ., если: ξ ( ω ) =                2 ;
                                                                   ξ ( ω ) = 0, < ω <      .
                                                         1
                                                 2ω − 1, < ω ≤ 1                3       3
                                                       2                    2
                                                                              1, 3 ≤ ω ≤ 1
                                                                             
       6. Н айти распред еления, к оторы мсоответствуютслед ующ ие х .ф .: a) e − t ;
                                                                                                2



                                  −t    sint       1            1
       b) cost ; c) cos 2 t ; d) e ; e)      ; f)        ; g)        .
                                          t       1+ t 2
                                                              1 − it

           § 9 Пред ельны етеоремы

                                                                           {ξ k }k=1
                                                                                 n
       Зд есь мы буд ем рассматривать послед овательности                              случ айны х
велич ин, наблюд аемы х в од ном и том же опы те G ~ Ω, Α, Ρ . О гранич имся
случ аемпослед овательности стох астич еск и независимы х с.в.
       К лассич еск ой д ля теории вероятностей является зад ач а нах ожд ения пре-
д ельног о распред еления д ля послед овательности сумм { S n }n =1 , гд е
                                                                          ∞


       n
Sn = ∑ ξ k , n ∈ N .
      k =1
       Сф ормулируемслед ующ иепред ельны етеоремы .
       Т еорема 1.( Зак он больш их ч исел). Рассмотрим послед овательность

Страницы