Теория вероятностей. Михайлова И.В - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

25
чайного вектора .
15. Доказать , что если компоненты случайного вектора
(
)
12
,
ξξξ
=
r
неза-
висимы , причем
(
)
~1
k
ξ Π для
1,2
k
=
, то независимы с.в
ηξξ
=+
и
1
2
2
ξ
η
ξ
=
.
16. Найти распределение вероятностей и числовые характеристики
с.в.
12
ξξ
−
, если случайный вектор
(
)
12
,
ξξξ
=
r
(
)
2
~,
µ
ΝΣ
ur
, где
a)
1
,
2
µ

=


ur
20
;
03

Σ=


b)
0,
µ
=
urr
21
.
12

Σ=


17. Пусть случайный вектор
(
)
12
,
ξξξ
=
r
имеет независимые компоненты ,
причем
(
)
1
1,
M ξ
=
(
)
2
2,
M ξ
=
(
)
1
1,
D ξ
=
(
)
2
4.
D ξ
=
Найти : a)
(
)
2
12
1
M ξξ
++
;
b)
(
)
22
121212
244.
M ξξξξξξ
+−−++
§ 8. Характеристическая функция случайной величины и случайного
вектора
Рассмотрим с. в.
:
R
ξ
Ω→
, наблюдаемую в опыте
~,,.
G
<ΩΑΡ>
Ее рас-
пределение вероятностей однозначно определяется характеристической функ -
цией (х .ф .) :
RC
ξ
ϕ
→
, задаваемой равенством
(
)
{
}
(
)
(
)
exp
itx
R
tMitedPx
ξξ
ϕξ==
∫
,
.
tR
∈
Она представляет преобразо-
вание Фурье меры
P
ξ
и в двух частных случаях имеет вид :
А .
(
)
{
}
k
ixt
k
k
tePx
ξ
ϕξ==
∑
,
,
tR
∈
где
ξ
- дискретная с. в. .
B.
()()
itx
tefxdx
ξξ
ϕ
+∞
−∞
=
∫
,
tR
∈
, где
ξ
- абсолютно-непрерывная с. в..
Характеристическая функция с. в.
ξ
обладает свойствами :
1.
(
)
1,
t
ξ
ϕ
≤
(
)
01;
ξ
ϕ
=
.
tR
∈
2.
(
)
(
)
,
ibt
ab
teat
ξξ
ϕϕ
+
=⋅
,,
abR
∈
.
tR
∈
3.
()()
1
,
nk
n
S
k
tt
ξ
ϕϕ
=
=
∏
если
12
,,...,
n
ξξξ
стохастически независимы и
1
.
n
nk
k
S
ξ
=
=
∑
4.
(
)
t
ξ
ϕ - непрерывна на всей числовой оси.
5.
()
0
!
k
n
n
k
k
k
i
ttt
k
ξ
µ
ϕ
=
=+
∑
при
0,
t
→
если
1
n
L
ξ
∈
и
(
)
k
k
M
µξ
= .
Пример. Если
(
)
~0,1,
Nξ то
()
2
2
,
t
te
ξ
ϕ
−
=
.
tR
∈
Для случайного вектора
(
)
12
n
ξξξξ
=
r
можно ввести понятие характе -
ристической функции по аналогии со скалярным случаем 
                                                                 25
ч айного век тора.
                                                                            r
        15. Д ок азать, ч то если к омпоненты случ айного век тора ξ = (ξ1 , ξ 2 ) неза-
                                                                                    ξ
висимы , прич емξ k ~ Π (1) д ля k = 1,2 , то независимы с.в η1 = ξ1 + ξ 2 и η2 = 1 .
                                                                                    ξ2
        16. Н айти распред еление вероятностей и ч исловы е х арак теристик и
                                         r                     ur
с.в. ξ1 − ξ 2 , если случ айны й век тор ξ = (ξ1 , ξ 2 ) ~ Ν 2 µ , Σ , гд е    ( )
           ur  1      2                  0          ur r           2 1
       a) µ =   , Σ =                                µ = 0,    Σ=
                                            3                             .
                                                 ; b)
               2      0                                             1 2 
                                                        r
       17. Пустьслуч айны й                 век тор     ξ = (ξ1 , ξ2 ) имеетнезависимы е к омпоненты ,
прич ем M ( ξ1 ) = 1, M (ξ 2 ) = 2,               D (ξ1 ) = 1, D (ξ 2 ) = 4. Н айти: a) M (ξ1 + ξ 2 + 1) ;
                                                                                                          2


b) M (ξ12 + 2ξ 22 − ξ1ξ 2 − 4ξ1 + ξ 2 + 4 ) .

       § 8. Х арак т
                   еристич еск ая ф унк ция случ айной велич ины и случ айног о
      век тора
      Рассмотримс.в. ξ : Ω → R , наблюд аемую в опы те G ~ < Ω, Α, Ρ > . Е е рас-
пред еление вероятностей од нознач но опред еляется х арак теристич еск ой ф унк -
цией (х .ф .) ϕξ : R → C , зад аваемой равенством
        ϕξ ( t ) = M ( exp {itξ }) = ∫ eitx dPξ ( x ) ,          t ∈ R.        О на пред ставляет преобразо-
                                            R
ваниеФ урьемеры Pξ и вд вух ч астны х случ аях имеетвид :
       А . ϕξ ( t ) = ∑ eixkt P {ξ = xk } , t ∈ R, гд еξ - д иск ретная с.в. .
                            k
                            +∞
       B.      ϕξ ( t ) =   ∫e
                                 itx
                                       fξ ( x )dx , t ∈ R , гд еξ - абсолютно-непреры вная с.в..
                            −∞
       Х арак теристич еск ая ф унк ция с.в. ξ облад аетсвойствами:
       1. ϕξ ( t ) ≤ 1, ϕξ ( 0 ) = 1; t ∈ R.
       2. ϕ aξ +b ( t ) = e ibt ⋅ ϕξ ( at ) , a, b ∈ R, t ∈ R.
                                  n
       3.        ϕ Sn ( t ) = ∏ϕξ k ( t ), если ξ1 , ξ 2 ,...,ξ n стох астич еск и независимы и
                                 k =1
       n
S n = ∑ξ k .
      k =1

       4. ϕξ ( t ) - непреры вна на всей ч исловой оси.
                            ik µk k
                                 t + t при t → 0, если ξ n ∈ L1 и µ k = M (ξ k ) .
                            n
       5. ϕξ ( t ) = ∑
                                      n

                        k =0 k !
                                                                          t2
                                                                      −
     Пример. Е сли ξ ~ N ( 0,1) , то ϕξ ( t ) = e , t ∈ R.                 2
                                 r
     Д ля случ айног о век тора ξ = ( ξ1 ,ξ 2 ,...,ξ n ) можно ввести понятие х арак те-
ристич еск ой ф унк ции по аналогии со ск алярны мслуч аем

Страницы