Теория вероятностей. Михайлова И.В - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

27
{
}
1
k
k
ξ
∞
=
с.в., удовлетворяющих условиям:
1.
{
}
1
k
k
ξ
∞
=
- стохастически независимы ;
2.
1
,
k
L
ξ
∈
k
=∞
;
3.
(
)
,
k
M
ξµ
=
k
=∞
. Тогда
0,
ε
∀>
0.
n
n
S
P
n
µε
→∞

−≥→


Теорема 2.( Центральная предельная). Рассмотрим последовательность
{
}
1
k
k
ξ
∞
=
с.в., удовлетворяющих условиям:
1.
{
}
1
k
k
ξ
∞
=
- стохастически независимы ;
2.
k
ξ
- одинаково распределены ,
1,
k
=∞
;
3.
2
1
L
ξ
∈
и
(
)
2
1
0.
D ξσ
=>
Тогда
()
2
2
1
2
xu
xR
n
n
Sn
Pxedux
n
µ
σπ
−
∀∈
→∞
−∞
−

<→−=Φ


∫
, где
(
)
1
M
µξ
= и
(
)
x
Φ - функция
Лапласа.
Задачи для самостоятельного решения
1. Рассмотрим последовательность
{
}
1
k
k
ξ
∞
=
стохастически независимых и
имеющих
(
)
0,1
N распределение с. в. 1) Подчиняется ли данная последователь-
ность закону больших чисел, центральной предельной теореме? 2) Подчиняют-
ся ли закону больших чисел и центральной предельной теореме последова-
тельности с . в .
{
}
1
k
k
η
∞
=
и
{
}
1
k
k
ζ
∞
=
, где
2
21
k
k
k
ξ
η
ξ
+
= ,
cos
kk
ζη
=
,
1,
k
=∞
?
2. Складывается 10
4
чисел, округленных с точностью до 10
-m
.
Предполагая, что ошибки округления независимы и равномерно распределены
в интервале
(
)
0,510;0,510
mm
−−
−⋅⋅, найти пределы , в которых с вероятностью ,
не меньшей 0,99, будет лежать суммарная ошибка.
3. Доказать , что при
n
→∞
0
1
.
!2
k
n
n
k
n
e
k
−
=
→
∑
4. Вероятность некоторого события равна
p
в каждом из
n
независмых
испытаний . Найти вероятность того, что : a) частота наступления события при
1500
n
=
отклонится от вероятности
0,4
p
=
в ту или другую сторону меньше,
чем на 0,02; b) число появления события будет заключено между 600 и 660; c) в
каких границах находится та частота события при
1200
n
=
, вероятность откло -
нения которой от вероятности
2
3
p
, равна 0,985? В каких границах заключено
число появлений события в этой задаче? d) Сколько необходимо провести ис-
пытаний , чтобы вероятность того, что отклонение частоты от вероятности по-
явления события в одном опыте
3
8
p
=
в ту или другую сторону будет меньше,
чем 0,01, была равна 0,995? 
                                                    27

{ξ k }∞k =1 с.в., уд овлетворяющ их условиям:
           1. {ξ k }k =1 - стох астич еск и независимы ;
                    ∞


       2. ξ k ∈ L1 , k = 1, ∞ ;
                                                          S          
          3. M ( ξ k ) = µ , k = 1, ∞ . Т огд а ∀ε > 0, P  n − µ ≥ ε  
                                                                         n→∞
                                                                             → 0.
                                                           n         
          Т еорема 2.( Ц ентральная пред ельная). Рассмотрим послед овательность
{ξ k }k =1 с.в., уд овлетворяющ их условиям:
      ∞



       1. {ξ k }k =1 - стох астич еск и независимы ;
               ∞


       2. ξ k - од инак ово распред елены , k = 1, ∞ ;
        3. ξ1 ∈ L2 и D (ξ1 ) = σ 2 > 0.
        Т огд а
                                         2
    Sn − nµ       ∀x∈R        1 x − u2
P
    σ n
              < x  
                  
                      n→∞
                          →−
                                2π −∞
                                     ∫ e du = Φ ( x ) , гд е µ = M (ξ1 ) и Φ ( x ) - ф унк ция
Л апласа.
        Зад ач ид ля самостоятельного реш ения
        1. Рассмотрим послед овательность {ξ k }k =1 стох астич еск и независимы х и
                                                       ∞


имеющ их N ( 0,1) распред еление с.в. 1) Под ч иняется ли д анная послед ователь-
ность зак ону больш их ч исел, центральной пред ельной теореме? 2) Под ч иняют-
ся ли зак ону больш их ч исел и центральной пред ельной теореме послед ова-
                                                  ξ
тельности с.в. {ηk }k =1 и {ζ k }k =1 , гд е ηk = 2 k , ζ k = cosηk , k = 1, ∞ ?
                    ∞            ∞

                                                 ξ 2 k +1
      2.    Ск лад ы вается 10 ч исел, ок руг ленны х с точ ностью д о 10-m .
                                    4

Пред полагая, ч то ош ибк и ок ругления независимы и равномерно распред елены
в интервале ( −0,5 ⋅ 10− m ;0,5 ⋅ 10− m ) , найти пред елы , в к оторы х с вероятностью,
неменьш ей 0,99, буд етлежатьсуммарная ош ибк а.
                                              n
                                                 nk  1
        3. Д ок азать, ч то при n → ∞ e − n ∑ → .
                                            k =0 k ! 2
        4. В ероятность нек оторого собы тия равна p вк ажд омиз n независмы х
испы таний. Н айти вероятность тог о, ч то: a) ч астота наступления собы тия при
 n = 1500 отк лонится отвероятности p = 0,4 в ту или д руг ую сторону меньш е,
ч емна 0,02; b) ч исло появления собы тия буд етзак люч ено межд у 600 и 660; c) в
к ак их границах нах од ится та ч астота собы тия при n = 1200 , вероятность отк ло-
                                      2
нения к оторой отвероятности p = , равна 0,985? В к ак их г раницах зак люч ено
                                      3
ч исло появлений собы тия в этой зад ач е? d) Ск ольк о необх од имо провести ис-
пы таний, ч тобы вероятность тог о, ч то отк лонение ч астоты отвероятности по-
                                         3
явления собы тия в од номопы те p = вту или д руг ую сторону буд етменьш е,
                                         8
ч ем0,01, бы ла равна 0,995?

Страницы