Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 10 стр.

      Определение 2. Наименьшая из всех верхних граней               Определение 5. Множество R, пополненное -∞ и ∞,
ограниченного сверху множества Х ⊂ R называется точной         обозначают R и называют расширенным множеством
верхней гранью. Другими словами, действительное число М        действительных чисел.
является точной верхней гранью множества         Х ⊂ R,              Примеры.
                           '
если ∀х ∈ Х: х ≤ М и ∀М < М ∃х0 > М', х0 ∈ Х.                        1. Пусть X = [2,5], тогда m = inf X = 2, M = sup X = 5.
      Точную верхнюю грань обозначают: m = sup X или                 2. Пусть Z0 - множество всех неотрицательных
m = sup x (от латинского supremum - наивысшее).                         целых чисел, тогда m = inf {p/p ∈ Z0} = 0,        M
     x ∈A
                                                                        = sup {p/p ∈ Z0} = ∞.
      Определение 3. Наибольшая из всех нижних граней
                                                                     3. Пусть R - множество действительных чисел, тогда
ограниченного снизу множества X ⊂ R называется точной
                                                                        m = inf R = inf {x/x ∈ R} = - ∞,    M = sup R = ∞.
нижней гранью. Другими словами, действительное число m                                    2
                                                                     4. Пусть X = {x/x < 5, x ∈R}, тогда m = inf X =
является точной нижней гранью множества X ⊂ R, если ∀х
∈ X: х ≥ М и ∀m' > m ∃х0 > m', х0 ∈ X.                                  = inf {x/- 5 < x < 5 ,     x ∈ R} = - 5
      Точную нижнюю грань обозначают m = inf X или                   M = sup {x/- 5 < x < 5 , x ∈ R} = 5
m = inf x (от латинского слова infimum - наинизшее).                 Точные грани множества X могут как принадлежать,
                                                               так и не принадлежать ему. Например, пусть X = ]a , b[ ,
     x ∈A
          Определение 4. Множество, ограниченное сверху и
снизу, называется ограниченным.                                тогда а = inf X ∉ X, supХ = b ∈ Х. В случае, если точная
          Примерами ограниченных множеств являются: [ а ,b],   верхняя (нижняя) грань принадлежит множеству Х, она
(a , b ) , множество значений cosx и т.д.                      совпадает с наибольшим (наименьшим) элементом этого
          Среди множеств, принадлежащих R, существуют          множества, т.е. sup X = max X, inf X = min X.
такие, которые не являются ограниченными. Их называют                                        1       
                                                                     Например, пусть Х =  n ∈ N  . Тогда         sup X = 1,
неограниченными множествами.                                                                 n       
          Например, (а, +∞), N являются множествами, которые   inf X = 0. Точная верхняя грань достигается и равна
ограничены только снизу. Множества Z, Q неограничены           наибольшему элементу множества Х (sup X = max X = 1),
как сверху, так и снизу.                                       нижняя грань inf X ∉ X.
          Для множеств, неограниченных сверху, принимают             Точная верхняя грань обладает следующими
дополнительно sup X = ∞, а для неограниченных снизу            свойствами:
полагают inf X = -∞.                                                 Как мало бы ни было число ε > 0 существует х ∈ Х
          Замечание. Часто используемые символы -∞ и ∞         такой, что х > sup X - ε. Действительно, если бы такого
присоединяют к R и считают, что -∞ < х < ∞ ∀х ∈ R.             числа не существовало, то sup X - ε был бы также верхней
                                                               гранью множества Х, что противоречит тому, что sup X
                                                               является наименьшей из верхних граней.