Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 11 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

Аналогичным свойством обладает и точная нижняя
грань: как бы мало ни было ε
> 0 существует х Х
такой, что
х < inf X + ε.
Теорема 1.3.1. Любое непустое ограниченное сверху
(снизу) числовое множество имеет единственную точную
верхнюю (нижнюю) грань.
Доказательство. Пусть Х - непустое множество,
ограниченное сверху,
Y - множество чисел,
ограничивающих
Х сверху, т.е. для любого х Х и любого
у Y выполняется х у. В силу непрерывности
вещественных чисел существует число
с такое, что х
с у. Из неравенства х с следует, что с ограничивает
множество
Х сверху, т.е. является верхней гранью. Из
неравенства
с у следует, что оно является наименьшей из
таких чисел, т.е. является точной верхней гранью.
§4. Основные определения числовой
последовательности.
Введем понятие числовой последовательности.
Определение 1. Пусть каждому натуральному числу
n поставлено в соответствие некоторое действительное
число
x
n
. Совокупность элементов х
n
(n = 1, 2, ...)
называется числовой последовательностью или просто
последовательностью, каждый элемент
х
n
называется
элементом или членом этой последовательности, а число
n -
его номером.
Числовую последовательность с элементами
х
n
будем
обозначать либо
х
n
, n = 1, 2, ..., либо { х
n
}.
По самому определению, последовательность всегда
содержит бесконечное множество элементов: любые два
разных ее элемента отличаются по крайней мере своими
номерами, которых бесконечно много.
Одной из основных операций в математическом
анализе является операция предельного перехода. Впервые
понятие предела встречается в элементарной математике,
где с помощью предельных переходов определяется длина
окружности, объемы цилиндра, конуса и т.д. Оно также
используется при определении суммы бесконечно
убывающей геометрической прогрессии. Введем понятие
предела числовой последовательности.
Определение 2. Число а называется пределом
последовательности {
х
n
}, если для любого ε > 0 существует
номер
n
0
такой, что при n >n
0
имеет место неравенство:
х
n
- а < ε. ( )
Если число
а есть предел последовательности, то
пишут lim
n
n
xa
→∞
=
.
Неравенство
равносильно неравенству: а
- ε < х
n
< а + ε.
Интервал
( а - ε, а + ε), где ε > 0, называется ε -
окрестностью точки
а . Тогда определение предела
последовательности через понятие окрестности может быть
сформулировано так:
Определение 3: Число а называется пределом
последовательности
{х
n
}, если в любой его окрестности
содержатся почти все члены последовательности за
исключением их конечного числа (рис. 1.4.1.)
      Аналогичным свойством обладает и точная нижняя              По самому определению, последовательность всегда
грань: как бы мало ни было ε > 0 существует        х ∈ Х    содержит бесконечное множество элементов: любые два
такой, что х < inf X + ε.                                   разных ее элемента отличаются по крайней мере своими
      Теорема 1.3.1. Любое непустое ограниченное сверху     номерами, которых бесконечно много.
(снизу) числовое множество имеет единственную точную              Одной из основных операций в математическом
верхнюю (нижнюю) грань.                                     анализе является операция предельного перехода. Впервые
      Доказательство. Пусть Х - непустое множество,         понятие предела встречается в элементарной математике,
ограниченное       сверху,    Y    -   множество   чисел,   где с помощью предельных переходов определяется длина
ограничивающих Х сверху, т.е. для любого х ∈ Х и любого     окружности, объемы цилиндра, конуса и т.д. Оно также
у ∈ Y выполняется           х ≤ у. В силу непрерывности     используется при определении суммы бесконечно
вещественных чисел существует число с такое, что        х   убывающей геометрической прогрессии. Введем понятие
≤ с ≤ у. Из неравенства х ≤ с следует, что с ограничивает   предела числовой последовательности.
множество Х сверху, т.е. является верхней гранью. Из              Определение 2. Число а называется пределом
неравенства с ≤ у следует, что оно является наименьшей из   последовательности {хn}, если для любого ε > 0 существует
таких чисел, т.е. является точной верхней гранью.           номер n0 такой, что при n >n0 имеет место неравенство:
                                                                                хn - а  < ε.          ( ✪)
                                                                  Если число а есть предел последовательности, то
                                                            пишут lim xn = a .
                                                                   n →∞
          §4. Основные определения числовой                        Неравенство ✪ равносильно неравенству:           а
               последовательности.                          - ε < хn < а + ε.
                                                                   Интервал ( а - ε, а + ε), где ε > 0, называется ε -
      Введем понятие числовой последовательности.           окрестностью точки а . Тогда определение предела
      Определение 1. Пусть каждому натуральному числу       последовательности через понятие окрестности может быть
n поставлено в соответствие некоторое действительное        сформулировано так:
число xn. Совокупность элементов хn (n = 1, 2, ...)                Определение 3: Число а называется пределом
называется числовой последовательностью или просто          последовательности {хn}, если в любой его окрестности
последовательностью, каждый элемент хn         называется   содержатся почти все члены последовательности за
элементом или членом этой последовательности, а число n -   исключением их конечного числа (рис. 1.4.1.)
его номером.
      Числовую последовательность с элементами хn будем
обозначать либо хn, n = 1, 2, ..., либо { хn}.