ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Аналогичным свойством обладает и точная нижняя
грань: как бы мало ни было ε
> 0 существует х ∈ Х
такой, что
х < inf X + ε.
Теорема 1.3.1. Любое непустое ограниченное сверху
(снизу) числовое множество имеет единственную точную
верхнюю (нижнюю) грань.
Доказательство. Пусть Х - непустое множество,
ограниченное сверху,
Y - множество чисел,
ограничивающих
Х сверху, т.е. для любого х ∈ Х и любого
у ∈ Y выполняется х ≤ у. В силу непрерывности
вещественных чисел существует число
с такое, что х
≤
с ≤ у. Из неравенства х ≤ с следует, что с ограничивает
множество
Х сверху, т.е. является верхней гранью. Из
неравенства
с ≤ у следует, что оно является наименьшей из
таких чисел, т.е. является точной верхней гранью.
§4. Основные определения числовой
последовательности.
Введем понятие числовой последовательности.
Определение 1. Пусть каждому натуральному числу
n поставлено в соответствие некоторое действительное
число
x
n
. Совокупность элементов х
n
(n = 1, 2, ...)
называется числовой последовательностью или просто
последовательностью, каждый элемент
х
n
называется
элементом или членом этой последовательности, а число
n -
его номером.
Числовую последовательность с элементами
х
n
будем
обозначать либо
х
n
, n = 1, 2, ..., либо { х
n
}.
По самому определению, последовательность всегда
содержит бесконечное множество элементов: любые два
разных ее элемента отличаются по крайней мере своими
номерами, которых бесконечно много.
Одной из основных операций в математическом
анализе является операция предельного перехода. Впервые
понятие предела встречается в элементарной математике,
где с помощью предельных переходов определяется длина
окружности, объемы цилиндра, конуса и т.д. Оно также
используется при определении суммы бесконечно
убывающей геометрической прогрессии. Введем понятие
предела числовой последовательности.
Определение 2. Число а называется пределом
последовательности {
х
n
}, если для любого ε > 0 существует
номер
n
0
такой, что при n >n
0
имеет место неравенство:
х
n
- а < ε. ( ✪)
Если число
а есть предел последовательности, то
пишут lim
n
n
xa
→∞
=
.
Неравенство
✪ равносильно неравенству: а
- ε < х
n
< а + ε.
Интервал
( а - ε, а + ε), где ε > 0, называется ε -
окрестностью точки
а . Тогда определение предела
последовательности через понятие окрестности может быть
сформулировано так:
Определение 3: Число а называется пределом
последовательности
{х
n
}, если в любой его окрестности
содержатся почти все члены последовательности за
исключением их конечного числа (рис. 1.4.1.)
Аналогичным свойством обладает и точная нижняя По самому определению, последовательность всегда грань: как бы мало ни было ε > 0 существует х ∈ Х содержит бесконечное множество элементов: любые два такой, что х < inf X + ε. разных ее элемента отличаются по крайней мере своими Теорема 1.3.1. Любое непустое ограниченное сверху номерами, которых бесконечно много. (снизу) числовое множество имеет единственную точную Одной из основных операций в математическом верхнюю (нижнюю) грань. анализе является операция предельного перехода. Впервые Доказательство. Пусть Х - непустое множество, понятие предела встречается в элементарной математике, ограниченное сверху, Y - множество чисел, где с помощью предельных переходов определяется длина ограничивающих Х сверху, т.е. для любого х ∈ Х и любого окружности, объемы цилиндра, конуса и т.д. Оно также у ∈ Y выполняется х ≤ у. В силу непрерывности используется при определении суммы бесконечно вещественных чисел существует число с такое, что х убывающей геометрической прогрессии. Введем понятие ≤ с ≤ у. Из неравенства х ≤ с следует, что с ограничивает предела числовой последовательности. множество Х сверху, т.е. является верхней гранью. Из Определение 2. Число а называется пределом неравенства с ≤ у следует, что оно является наименьшей из последовательности {хn}, если для любого ε > 0 существует таких чисел, т.е. является точной верхней гранью. номер n0 такой, что при n >n0 имеет место неравенство: хn - а < ε. ( ✪) Если число а есть предел последовательности, то пишут lim xn = a . n →∞ §4. Основные определения числовой Неравенство ✪ равносильно неравенству: а последовательности. - ε < хn < а + ε. Интервал ( а - ε, а + ε), где ε > 0, называется ε - Введем понятие числовой последовательности. окрестностью точки а . Тогда определение предела Определение 1. Пусть каждому натуральному числу последовательности через понятие окрестности может быть n поставлено в соответствие некоторое действительное сформулировано так: число xn. Совокупность элементов хn (n = 1, 2, ...) Определение 3: Число а называется пределом называется числовой последовательностью или просто последовательности {хn}, если в любой его окрестности последовательностью, каждый элемент хn называется содержатся почти все члены последовательности за элементом или членом этой последовательности, а число n - исключением их конечного числа (рис. 1.4.1.) его номером. Числовую последовательность с элементами хn будем обозначать либо хn, n = 1, 2, ..., либо { хn}.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- …
- следующая ›
- последняя »