Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 1.4.1. (необходимый признак сходимости
последовательности). Если последовательность {х
n
}
сходится, то она ограничена: lim
n
n
x а
→∞
=
⇒ ∃М ∈ R:
х
n
≤ М.
Доказательство. Пусть {х
n
} - сходящаяся после-
довательность. Так как lim
n
n
x а
→∞
= , то для любого ε > 0
существует натуральное число n
0
∈ Ν, такое, что для
любого n > n
0
выполняется неравенство х
n
- а < ε. Тогда
для любого ε > 0 имеет место неравенство:
х
n
=х
n
- а + а ≤ х
n
- а + а < а + ε, т.е.
х
n
< а + ε.
Пусть М = max { а + ε, х
1
, х
2
,...,
1n
0
x
−
}. Тогда
х
n
≤ М ∀n ∈ N, что и означает ограниченность {х
n
}.
Заметим, что ограниченность последовательности
является только необходимым, но не достаточным
признаком сходимости {х
n
}.
§5. Монотонные последовательности
Определение 1. Последовательность {х
n
} называется
возрастающей (убывающей), если каждое последующее ее
значение больше (меньше) предыдущего.
Например, последовательность
1
1
2
3
2
4
3
+
=
n
,,,...,
график которой приведен на рис. 1.5.1., является
убывающей, так как для ∀n
∈ N x
n
- x
n+1
=
=
1
1
1
1
1
11
1
1
1
0
1
+
−+
+
=−
+
=
+
〉⇒ 〉
+
nnnnnn
xx
nn
()
1 2 3 4 5 6 7 8 n
Рис. 1.5.1.
x
n
2
1
ο
ο
ο
ο
ο
ο
ο
ο
ο
Возрастающие и убывающие последовательности
объединяются общим названием:
строго монотонные
последовательности.
Теорема 1.5.1. (достаточный признак сходимости
последовательности). Монотонная ограниченная
последовательность сходится.
Доказательство: Пусть {х
n
} - возрастающая. Тогда
для любого n имеет место х
n
< х
n-1
и, кроме того, если {х
n
}
ограничена, то для любого х
n
: х
n
≤ М
Если
Х - множество, состоящее из элементов этой
последовательности, то по условию
Х ограничено сверху и
непусто. Отсюда следует по теореме 1.1, что она имеет
точную верхнюю грань. Обозначим ее через а, т.е. а = sup
x. Т.к. а - точная верхняя грань, то по свойству точной
верхней грани для любого ε > 0 существует Ν такой, что
х
N
> а - ε. А т.к. последовательность неубывающая, то при
n > Ν будем иметь x
n
> а - ε. С другой стороны, по оп-
ределению точной верхней грани x
n
≤ а < а + ε. Таким
образом, при n > Ν а - ε < x
n
< а + ε, т.е. x
n
- a < ε.
Отсюда и следует, что а - предел последовательности. 
     Теорема 1.4.1. (необходимый признак сходимости                            xn
последовательности). Если последовательность {хn}                               2   ο
сходится, то она ограничена: lim xn = а ⇒ ∃М ∈ R:                                        ο
                                      n →∞                                                       ο
хn ≤ М.                                                                                            ο
      Доказательство. Пусть {хn} - сходящаяся после-                                                       ο
                                                                                1                              ο
довательность. Так как lim xn = а , то для любого ε > 0
                              n →∞                                                                                 ο
существует натуральное число n0 ∈ Ν, такое, что для                                                                    ο
любого n > n0 выполняется неравенство  хn - а  < ε. Тогда                                                                ο
для любого ε > 0 имеет место неравенство:                                            1       2       3     4 5 6       7   8   n
                                                                                                         Рис. 1.5.1.
      хn=хn - а + а  ≤  хn - а  +  а  <  а  + ε, т.е.
      хn<  а  + ε.                                                        Возрастающие и убывающие последовательности
      Пусть М = max {  а  + ε, х1, х2,...,  x n 0 −1 }. Тогда   объединяются общим названием: строго монотонные
                                                                        последовательности.
хn≤ М ∀n ∈ N, что и означает ограниченность {хn}.
                                                                              Теорема 1.5.1. (достаточный признак сходимости
      Заметим, что ограниченность последовательности
                                                                        последовательности).        Монотонная       ограниченная
является только необходимым, но не достаточным
                                                                        последовательность сходится.
признаком сходимости {хn}.
                                                                              Доказательство: Пусть {хn} - возрастающая. Тогда
                                                                        для любого n имеет место хn < хn-1 и, кроме того, если {хn}
           §5. Монотонные последовательности
                                                                        ограничена, то для любого хn: хn ≤ М
                                                                              Если Х - множество, состоящее из элементов этой
       Определение 1. Последовательность {хn} называется
                                                                        последовательности, то по условию Х ограничено сверху и
возрастающей (убывающей), если каждое последующее ее
                                                                        непусто. Отсюда следует по теореме 1.1, что она имеет
значение больше (меньше) предыдущего.
                                                                        точную верхнюю грань. Обозначим ее через а, т.е. а = sup
                                    1  3 4                          x. Т.к. а - точная верхняя грань, то по свойству точной
      Например, последовательность 1+  = 2, , ,...,
                                    n  2 3                          верхней грани для любого ε > 0 существует Ν такой, что
      график которой приведен на рис. 1.5.1., является                  хN > а - ε. А т.к. последовательность неубывающая, то при
убывающей, так как для ∀n           ∈ N xn - xn+1 =                     n > Ν будем иметь xn > а - ε. С другой стороны, по оп-
      1      1  1      1        1                                   ределению точной верхней грани xn ≤ а < а + ε. Таким
= 1 +  − 1 +    = −       =         〉 0 ⇒ xn 〉 xn +1
   n   n + 1 n n + 1 n(n + 1)                                       образом, при n > Ν а - ε < xn < а + ε, т.е. xn - a < ε.
                                                                        Отсюда и следует, что а - предел последовательности.

Страницы