ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Пример. (Число е).
Рассмотрим {х
n
} с общим числом х
n
= 1
1
+
n
n
.
Доказать, что она возрастает и ограничена.
Докажем, что она сходится, для чего достаточно
показать, что она возрастающая и ограничена.
Применим формулу бинома Ньютона:
()
ab Ca b
n
n
knkk
k
n
+=
−
=
∑
0
.
х
n
=
32
n
1
!3
)2n)(1n(n
n
1
!2
)1n(n
n
1
n1 •
−
−
+•
−
+•+
+
+... +
()
[]
n
n
1
!n
1nn)...2n)(1n(n
•
−−
−
−
Это выражение преобразуем к виду:
х
n
= 2
1
2
1
11
3
1
1
1
2
++−
+−
−
+
!!nnn
...+
+
1
1
1
1
2
1
1
nn n
n
n!
...−
−
−
−
(1.5.1.)
Аналогично представим:
х
n+1
=
2
1
2
1
1
1
1
3
1
1
1
1
2
1
++−
+
+−
+
−
+
+
!!nnn
...+
+
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1()!
...
nnn
n
n+
−
+
−
+
−
+
(1.5.2.)
Заметим, что
11
1
−
〈−
+
k
n
k
n
при 0 < k < n.
Отсюда следует, что в выражении 1.5.2. каждое
слагаемое больше соответствующего слагаемого в 1.5.1. и,
кроме того, в 1.5.2. добавляется еще одно слагаемое, больше
0.
Поэтому х
n
< х
n+1
, что означает, что последователь-
ность возрастает.
Для доказательства ограниченности сверху данной
последовательности заметим, что каждое выражение в
круглых скобках в 1.5.1. меньше 1.
Учитывая, что
1n
2
1
!n
1
−
<
при n > 2, получим x
n
< 2 +
1n2
2
1
...
2
1
2
1
11
!n
1
...
!3
1
!2
1
−
+++++<+++
Используя формулу суммы членов геометрической
прогрессии, получим
x
n
< 1 +
1
1
2
1
1
2
3
1
2
1
−
−
=−
−
n
n
< 3.
Таким образом, доказана ограниченность
последовательности.
Следовательно, последовательность ограничена и
монотонна и по теореме 1.5.1. имеет предел. Этот предел
обозначают буквой
е. Итак, е = lim
n
n
n
→∞
+
1
1
.
Число
е является основанием натуральных
логорифмов и играет важную роль в математике.
Определение 2. Числом е называется предел
е = lim
n
n
n
→∞
+
1
1
.
Очевидно, что 2 ≤
е ≤ 3, е ≈ 2,71
Пример. (Число е). Поэтому хn < хn+1, что означает, что последователь-
1
n
ность возрастает.
Рассмотрим {хn} с общим числом хn = 1 + . Для доказательства ограниченности сверху данной
n
последовательности заметим, что каждое выражение в
Доказать, что она возрастает и ограничена.
круглых скобках в 1.5.1. меньше 1.
Докажем, что она сходится, для чего достаточно
1 1
показать, что она возрастающая и ограничена. Учитывая, что < n −1 при n > 2, получим xn
Применим формулу бинома Ньютона: n! 2
n 1 1 1 1 1 1
( a + b) n = ∑ Cnk a n − k b k . < 2 + + + ... + <1 + 1 + + 2 + ... + n −1
2! 3! n! 2 2 2
k =0
1 n (n − 1) 1 n (n − 1)(n − 2) 1 Используя формулу суммы членов геометрической
хn = 1 + n • + • 2 + • 3+ прогрессии, получим
n 2! n 3! n n
n (n − 1)(n − 2)...[n − (n − 1)] 1 1
+... + • n 1−
2 1
n! n xn < 1 + = 3 − n − 1 < 3.
1 2
Это выражение преобразуем к виду: 1−
2
1 1 1 1 2
хn= 2 + + 1 − + 1 − 1 − + ...+ Таким образом, доказана ограниченность
2! n 3! n n последовательности.
1 1 2 n − 1 Следовательно, последовательность ограничена и
+ 1 − 1 − ... 1 − (1.5.1.)
n! n n n монотонна и по теореме 1.5.1. имеет предел. Этот предел
n
Аналогично представим: 1
1 1 1 1 2 обозначают буквой е. Итак, е = lim 1 + .
n →∞ n
хn+1= 2 + + 1 − + 1 − 1 − + ...+
2 ! n + 1 3! n + 1 n + 1 Число е является основанием натуральных
1 1 2 n логорифмов и играет важную роль в математике.
+ 1 − 1 − ... 1 − (1.5.2.) Определение 2. Числом е называется предел
(n + 1)! n + 1 n + 1 n + 1
n
k k 1
Заметим, что 1 − 〈 1 − при 0 < k < n. е = lim 1 + .
n →∞ n
n n + 1
Отсюда следует, что в выражении 1.5.2. каждое Очевидно, что 2 ≤ е ≤ 3, е ≈ 2,71
слагаемое больше соответствующего слагаемого в 1.5.1. и,
кроме того, в 1.5.2. добавляется еще одно слагаемое, больше
0.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- …
- следующая ›
- последняя »
