Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

2
ε
x
1
x
2
1n
0
x
−
а
-
ε
а
х
n
а
+
ε
Рис. 1.4.1.
Иначе говоря, число
а является пределом
последовательности, если для любого ε
> 0 найдется такой
номер
n = N, начиная с которого все члены
последовательности
{х
n
} будут находится в интервале
( а - ε, а + ε); за пределами этого интервала будет
находиться лишь конечное число членов
последовательности.
Пример: Пусть {х
n
} =
n
n
+
=
1
1
2
2
3
3
4
, , ,... .
Доказать, что lim
n
n
x
→∞
= 1. Если провести прямую х
n
= а
(рис. 1.4.2), то видно, что все точки последовательности
{х
n
} приближаются к этой прямой.
Зададим ε = 0,01. Найдем такой номер
последовательности n
0
∈ Ν, чтобы ∀n > n
0
выполнялось
неравенство х
n
-1< ε: х
n
-1< ε ⇔
n
n
+
−<
1
1
ε
⇔
−
+
<
1
1n
ε
⇔
1
1
n +
〈
ε
⇔ n >
1
ε
- 1, где
1
ε
- целая
часть числа
1
ε
.
Если
ε = 0,01, то для выполнения неравенства х
n
-1< ε достаточно взять n
0
=
1
001
1
,
−
=99. Тогда∀n > 99⇒ ⇒
х
n
-1< 0,01; если ε = 0,001, то n
0
=
001,0
1
-1 = 999, тогда
∀
n
> 999 ⇒ x
n
-1< 0,001, т.е. lim
n
n
n
→∞
+
=
1
1.
а +
ε
а = 1
а -
ε
1 2 3 4 5 6 7 8
Рис. 1.4.2.
ο
ο
ο
ο
ο
ο
ο
ο
x
n
n
n
Определение 4. Последовательность называется
ограниченной снизу (сверху), если существует такое число
m(M), что для любого х
n
имеет место неравенство: х
n
≥ m
(х
n
≤ M).
Последовательность {х
n
} =
3
2
n
n
+
ограничена.
Действительно, существует числа m = 0 и M = 3 такие, что
0 <
3
2
n
n +
< 3 ∀n ∈ N (0 <
3
2
n
n +
=
326
2
()n
n
+
−
+
= 3 -
6
2n +
< 3).
Определение 5. Последовательность, ограниченная
сверху и снизу, называется ограниченной.
Определение 6. Последовательность, имеющая
предел, называется сходящейся.
Сходящаяся последовательность обладает
следующими свойствами: 
                                                                                                                 1
                                        2ε                      хn -1< 0,01; если ε = 0,001, то n0 =               -1 = 999, тогда ∀n
                                                                                                               0,001
                                                                                                           n
                                                                > 999 ⇒ xn -1< 0,001, т.е. lim              = 1.
            x1 x2      x n0 −1 а -ε          а      хn   а +ε                                      n →∞   n+1

                                      Рис. 1.4.1.                           xn
                                                                         а+ε
      Иначе говоря, число а является пределом
последовательности, если для любого ε > 0 найдется такой                 а=1                                             ο
                                                                                                     ο     ο   ο   ο
номер n = N, начиная с которого все члены
                                                                         а-ε             ο ο
последовательности {хn} будут находится в интервале                                ο
( а - ε, а + ε); за пределами этого интервала будет                                                                          n
находиться     лишь       конечное      число     членов                           1    2      3     4     5   6     7   8       n
последовательности.                                                                    Рис. 1.4.2.
                                    n  1 2 3 
      Пример: Пусть {хn} =                =  , , ,... .
                                    n + 1  2 3 4                   Определение 4. Последовательность называется
Доказать, что lim xn = 1. Если провести прямую хn = а           ограниченной снизу (сверху), если существует такое число
                n →∞
                                                                m(M), что для любого хn имеет место неравенство: хn ≥ m
(рис. 1.4.2), то видно, что все точки последовательности
{хn} приближаются к этой прямой.                                (хn ≤ M).
      Зададим ε = 0,01. Найдем такой номер                                                             3n 
                                                                       Последовательность {хn} =               ограничена.
последовательности n0 ∈ Ν, чтобы ∀n > n0 выполнялось                                                  n + 2
                                                 n              Действительно, существует числа m = 0 и M = 3 такие, что
неравенство хn -1< ε: хn -1< ε ⇔                −1 < ε            3n                   3n    3(n + 2 ) − 6      6
                                               n +1             0<        < 3 ∀n ∈ N (0 <      =               =3-     < 3).
                                                                    n+2                   n+2       n+2            n+2
       1             1            1          1
⇔−         <ε ⇔         〈 ε ⇔ n >   - 1, где   - целая             Определение 5. Последовательность, ограниченная
     n +1          n +1           ε          ε              сверху и снизу, называется ограниченной.
              1                                                        Определение 6. Последовательность, имеющая
часть числа .
            ε                                                   предел, называется сходящейся.
      Если ε = 0,01, то для выполнения неравенства      хn            Сходящаяся        последовательность         обладает
                              1                                 следующими свойствами:
-1< ε достаточно взять n0 =      − 1 =99. Тогда∀n > 99⇒ ⇒
                             0,01

Страницы