Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

3. -х≤ х ≤ х
4.
∀ε > 0: х ≤ ε ⇔ -ε ≤ х ≤ε
5.
х + у ≤ х+ у∀х,у ∈ R
Доказательство: в силу свойства 3, -х≤ х ≤ х,
-у≤ у ≤ у. Сложим эти неравенства почленно:
-(х+ у) ≤ х + у ≤ (х+ у). Согласно свойству 4,
полученное двойное неравенство равносильно неравенству
х + у ≤ х+ у.
6.
х - у ≥ х- у ∀х,у ∈ R
Доказательство: имеет место равенство х = у + (х - у)
∀х,у ∈
R ⇒ х = у + (х - у) ≤ у + х - у,
х - у ≥ х- у.
7.
ху = х•у ∀х,у ∈ R
8.
х
у
х
у
=
∀х,у ∈ R при у ≠ 0
Абсолютная величина разности двух чисел х - а
означает расстояние между точками х и а числовой прямой
как для случая х < а , так и х > а (рис. 1.1.4 и 1.1.5)
х
<
а
х -
а
х
а
х
Рис.1.1.4.
х
>
а
х -
а
а
х х
Рис.1.1.5.
Исходя из сказанного можно утверждать, что
решениями неравенства х - а < ε (ε > 0) будут точки х
интервала (а - ε, а + ε) (рис.1.1.6.), удовлетворяющие
неравенству: ( а - ε < х < а + ε)
ε
ε
а
-
ε
а
а
+
ε
х
Рис.1.1.6.
Определение 13. Всякий интервал, содержащий
точку а , называется окрестностью точки а .
Определение 14. Интервал (а - ε, а + ε), т.е.
множество точек х таких, что х - а < ε (ε > 0), называется
ε - окрестностью точки а .
Примеры. Решить неравенства:
1.
2х - 3 < 1, 2. х
2
- 7х + 12 > х
2
- 7х + 12
Решение.
1.
Неравенство 2х - 3 < 1 равносильно
неравенствам -1 < 2х - 3 < 1 ⇒ 2 < 2х < 4 и 1 < х < 2
2.
Данное неравенство справедливо для тех значений
х, при которых х
2
- 7х + 12 < 0 ⇒ ⇒ 3 < х < 4.
§3. Грани числовых множеств.
Рассмотрим произвольное множество Х ⊂ R.
Определение 1. Множество действительных чисел Х
называется ограниченным сверху (снизу), если существует
такое действительное число
М (число m), что каждый
элемент
х ∈ Х удовлетворяет неравенству х ≤ М (х ≥ m).
При этом число
М (число m) называется верхней (нижней)
границей множества Х. 
       3. -х≤ х ≤ х
       4. ∀ε > 0: х ≤ ε ⇔ -ε ≤ х ≤ε
       5. х + у ≤ х+ у∀х,у ∈ R
                                                                                           ε         ε
       Доказательство: в силу свойства 3, -х≤ х ≤ х,
-у≤ у ≤ у. Сложим эти неравенства почленно:
-(х+ у) ≤ х + у ≤ (х+ у). Согласно свойству 4,                           а -ε            а        а +ε    х
полученное двойное неравенство равносильно неравенству
х + у ≤ х+ у.                                                                        Рис.1.1.6.
       6. х - у ≥ х- у ∀х,у ∈ R
       Доказательство: имеет место равенство х = у + (х - у)
∀х,у ∈ R ⇒ х = у + (х - у) ≤ у + х - у,                           Определение 13. Всякий интервал, содержащий
х - у ≥ х- у.                                                точку а , называется окрестностью точки а .
       7. ху = х•у ∀х,у ∈ R                                         Определение 14. Интервал ( а - ε, а + ε), т.е.
           х     х                                                 множество точек х таких, что х - а  < ε (ε > 0), называется
       8.     =     ∀х,у ∈ R при у ≠ 0                             ε - окрестностью точки а .
           у     у                                                        Примеры. Решить неравенства:
       Абсолютная величина разности двух чисел х - а                    1. 2х - 3 < 1,      2. х2 - 7х + 12 > х2 - 7х + 12
означает расстояние между точками х и а числовой прямой                   Решение.
как для случая       х < а , так и х > а (рис. 1.1.4 и 1.1.5)             1. Неравенство 2х - 3 < 1 равносильно
                                                                   неравенствам       -1 < 2х - 3 < 1 ⇒ 2 < 2х < 4 и 1 < х < 2
                                                                          2. Данное неравенство справедливо для тех значений
                    х - а                     х - а 
         х< а                          х> а                        х, при которых х2 - 7х + 12 < 0 ⇒ ⇒ 3 < х < 4.
                х              а   х            а          х   х
                                                                                 §3. Грани числовых множеств.
                Рис.1.1.4.                    Рис.1.1.5.                Рассмотрим произвольное множество Х ⊂ R.
                                                                        Определение 1. Множество действительных чисел Х
      Исходя из сказанного можно утверждать, что
                                                                   называется ограниченным сверху (снизу), если существует
решениями неравенства х - а  < ε (ε > 0) будут точки х
                                                                   такое действительное число М (число m), что каждый
интервала ( а - ε, а + ε) (рис.1.1.6.), удовлетворяющие
                                                                   элемент х ∈ Х удовлетворяет неравенству х ≤ М (х ≥ m).
неравенству: ( а - ε < х < а + ε)                                  При этом число М (число m) называется верхней (нижней)
                                                                   границей множества Х.

Страницы