Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

А7: ∃1 ∈ R: 1 • x = x ∀x ∈ R (существование
нейтрального элемента)
А8: ∀х ∈R \ [0] ∃х
-1
: х • х
-1
= 1 (существование
обратного элемента)
А9: ∀х, у, z ∈R: (x + y) • z = x • z + y • z
(дистрибутивный закон относительно сложения)
Аксиомы порядка
А10: ∀х, у ∈ R: x ≠ y ⇒ х < у или у < х
А11: ∀х, у ∈ R: х ≤ у и у ≤ х ⇒ х = у
А12: ∀х, у, z ∈ R: x ≤ y и y ≤ z ⇒ x ≤ z
Аксиома полноты (непрерывности)
А13: Если непустые множества X, Y ⊂ R таковы, что
∀х ∈X и ∀у ∈Y выполняется неравенство х ≤ у, то ∃с ∈ R,
такое, что х ≤ с ≤ у.
Первые три вида аксиом выполняются на множестве
рациональных чисел. Аксиома непрерывности справедлива
только в R.
При изучении функций одной переменной
рассматривают подмножества множества R: интервал,
полуинтервал, отрезок (сегмент), полуотрезок, которые
называются промежутками.
Интервал с концами
а
и b:
][
{}
ab x Rа xb
def
, =∈ <<
Отрезок с концами а и b:
[]
{
}
ab x Rа xb
def
, =∈ ≤≤
Полуинтервалы:
[[
{}
ab x Rа xb
def
, =∈ ≤〈,
]]
{}
ab x Rа xb
def
, =∈ <≤
Бесконечные интервалы и полуинтервалы:
[[
{}
][
{}
а xRxa a xRxa
def def
,,,+∞ = ∈ ≥ +∞ = ∈ >
][
{}
]]
{}
−∞ = ∈ < −∞ = ∈ ≤,,,bxRxb bxRxb
def def
][
{}
−∞+∞ = ∈ −∞< <+∞,
def
xR x
Промежуток
[
]
ab, называется замкнутым,
промежутки
]
[
]
[
]
[
ab a b,, , , ,,+∞ − ∞
]
[
−∞+∞,- открытыми,
остальные - полуоткрытыми.
§2. Абсолютная величина
действительного числа.
Действительные числа могут быть положительными и
отрицательными. Часто приходится рассматривать
действительное число, игнорируя его знак, т.е. абсолютную
величину действительного числа.
Определение 12. Абсолютной величиной или
модулем действительного числа х называется число х, если
х ≥ 0, и число -х, если х < 0:
х
хх
хх
=
∀≥
−∀<
,
,
0
0
Пример. Найти х - х.
Решение. Если х ≥ 0, то х = х и х - х= х - х =
=0 = 0. Если х < 0, х = -х и х - х= х - (х) = 2х = -2х.
Если х изображается точкой
М числовой оси, то х
= ОМ.
Основные свойства модуля числа:
1. х ≥ 0
2.
х = -х 
      А7: ∃1 ∈ R: 1 • x = x ∀x ∈ R (существование                       Бесконечные интервалы и полуинтервалы:
нейтрального элемента)                                                          def                         def
      А8: ∀х ∈R \ [0] ∃х-1 : х • х-1 = 1 (существование                 [а ,+∞[ = { x ∈ R x ≥ a},    ]a ,+∞[ = {x ∈ R x > a}
                                                                                def                          def
обратного элемента)
      А9: ∀х, у, z ∈R: (x + y) • z = x • z + y • z                                    {         }
                                                                         ]− ∞, b[ = x ∈ R x < b ,     ]− ∞, b] = {x ∈ R x ≤ b}
(дистрибутивный закон относительно сложения)                                          def
                                                                        ]− ∞,+∞[ = {x ∈ R − ∞ < x < + ∞}
                         Аксиомы порядка                               Промежуток           [a ,b] называется           замкнутым,
                                                                  промежутки ]a , b[, ]a ,+∞[, ]− ∞, b[, ]− ∞,+∞[ -    открытыми,
      А10: ∀х, у ∈ R: x ≠ y ⇒ х < у или у < х
                                                                  остальные - полуоткрытыми.
      А11: ∀х, у ∈ R: х ≤ у и у ≤ х ⇒ х = у
      А12: ∀х, у, z ∈ R: x ≤ y и y ≤ z ⇒ x ≤ z
                                                                                  §2. Абсолютная величина
               Аксиома полноты (непрерывности)                                     действительного числа.

      А13: Если непустые множества X, Y ⊂ R таковы, что                 Действительные числа могут быть положительными и
∀х ∈X и ∀у ∈Y выполняется неравенство х ≤ у, то ∃с ∈ R,           отрицательными.       Часто    приходится   рассматривать
такое, что х ≤ с ≤ у.                                             действительное число, игнорируя его знак, т.е. абсолютную
      Первые три вида аксиом выполняются на множестве             величину действительного числа.
рациональных чисел. Аксиома непрерывности справедлива                   Определение 12. Абсолютной величиной или
только в R.                                                       модулем действительного числа х называется число х, если
      При     изучении   функций   одной    переменной            х ≥ 0, и число -х, если х < 0:
рассматривают подмножества множества R: интервал,                            х,     ∀х ≥ 0
                                                                         х =
полуинтервал, отрезок (сегмент), полуотрезок, которые                        − х , ∀х < 0
называются промежутками.                                                Пример. Найти х - х.
                                         def
                                              {
      Интервал с концами а и b: ]a , b[ = x ∈ R а < x < b     }         Решение. Если х ≥ 0, то х = х и х - х= х - х =
                                                                  =0 = 0. Если х < 0, х = -х и х - х= х - (х) = 2х = -2х.
        Отрезок с концами а и b: [a , b ] = { x ∈ R а ≤ x ≤ b}
                                         def
                                                                        Если х изображается точкой М числовой оси, то х
                                                                  = ОМ.
        Полуинтервалы: [a , b[ = { x ∈ R а ≤ x 〈 b} ,
                             def
                                                                        Основные свойства модуля числа:
       def                                                              1. х ≥ 0
]a , b] = { x ∈ R а < x ≤ b}                                            2. х = -х

Страницы