Функция. Предел и непрерывность. Мижидон А.Д - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

5) в Z невыполнима операция деления чисел, т.к.
частное от деления двух целых чисел не всегда
целое.
Расширением множества целых чисел является
множество рациональных чисел Q.
Множество рациональных чисел Q. Множество
чисел вида
p
n
, где р ∈ Z, n ∈ N, является множеством
рациональных чисел и обозначается Q. Элементы
множества Q будем обозначать q. Тогда:
Q = q =
p
n
p ∈ Z, n ∈ N (p, n) = 1
Множество Q обладает следующими свойствами:
1) N ⊂ Z ⊂ Q;
2) Q ⊂ R, счетно и бесконечно;
3) Q упорядочено;
4) ∀q может быть записано в виде конечной или
бесконечной периодической десятичной дроби;
5) Q плотно, т.е. для ∀q
1
и q
2
∈ Q найдется по
крайней мере одно рациональное число q такое,
что q
1
< q < q
2
.
6) ∀q
1
, q
2
∈Q: q
1
< q
2
∃ n ∈ N: nq
1
> q
2
7) в Q выполнимы четыре арифметические операции
(кроме деления на нуль), причем сложение и
умножение подчиняются коммутативному и
ассоциативному законам, а умножение - еще и
дистрибутивному закону относительного
сложения.
Определение 11. Числа, которые нельзя представить
в виде отношения двух целых чисел
p
n
, p ∈Z, n ∈ N,
называются иррациональными.
Иррациональные числа можно представить в виде
бесконечной непериодической десятичной дроби.
Множество действительных чисел. Объединение
рациональных и иррациональных чисел образует множество
действительных чисел и обозначается R.
Основные свойства множества R действительных
чисел:
1). N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
2) R бесконечно, упорядочено;
3) ∀х, у ∈ R: х < у: ∃ n ∈ N: nx > y
4) В R определены операции сложения, вычитания,
умножения, деления на любое действительное
число, отличное от нуля, возведения в степень и
др.
Эти операции подчиняются следующим аксиомам.
Аксиомы сложения.
А1: ∀х, у ∈ R: х + у = у + х (коммутативный закон)
А2: ∀х, у, z ∈ R: (х + у) + z = х + (y + z)
(ассоциативный закон)
А3: ∃0 ∈ R : ∀x ∈ R, x + 0 = x (существование в R
нуля)
А4: ∀х ∈ R ∃(-x) ∈ R: х + (-х) = 0 (существование в R
противоположного элемента).
Аксиомы умножения
А5: ∀х, у ∈ R \ [0]: х • у = у • х (коммутативный
закон).
А6: ∀х, у, z ∈ R \ [0]: х • (у • z) = (х • y) • z
(ассоциативный закон) 
     5) в Z невыполнима операция деления чисел, т.к.                Иррациональные числа можно представить в виде
        частное от деления двух целых чисел не всегда        бесконечной непериодической десятичной дроби.
        целое.                                                      Множество действительных чисел. Объединение
     Расширением множества целых чисел является              рациональных и иррациональных чисел образует множество
множество рациональных чисел Q.                              действительных чисел и обозначается R.
     Множество рациональных чисел Q. Множество                      Основные свойства множества R действительных
             p                                               чисел:
чисел вида     , где р ∈ Z, n ∈ N, является множеством              1). N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
             n
рациональных чисел и обозначается Q. Элементы                       2) R бесконечно, упорядочено;
множества Q будем обозначать q. Тогда:                              3) ∀х, у ∈ R: х < у: ∃ n ∈ N: nx > y
                          p                                         4) В R определены операции сложения, вычитания,
               Q = q = p ∈ Z, n ∈ N (p, n) = 1                      умножения, деления на любое действительное
                          n
     Множество Q обладает следующими свойствами:                       число, отличное от нуля, возведения в степень и
      1) N ⊂ Z ⊂ Q;                                                    др.
                                                                    Эти операции подчиняются следующим аксиомам.
      2) Q ⊂ R, счетно и бесконечно;
      3) Q упорядочено;
                                                                                   Аксиомы сложения.
      4) ∀q может быть записано в виде конечной или
         бесконечной периодической десятичной дроби;
                                                                   А1: ∀х, у ∈ R: х + у = у + х (коммутативный закон)
      5) Q плотно, т.е. для ∀q1 и q2 ∈ Q найдется по
                                                                   А2: ∀х, у, z ∈ R: (х + у) + z = х + (y + z)
         крайней мере одно рациональное число q такое,
                                                             (ассоциативный закон)
         что q1 < q < q2.
                                                                   А3: ∃0 ∈ R : ∀x ∈ R, x + 0 = x (существование в R
      6) ∀q1, q2 ∈Q: q1 < q2 ∃ n ∈ N: nq1 > q2
                                                             нуля)
      7) в Q выполнимы четыре арифметические операции
                                                                   А4: ∀х ∈ R ∃(-x) ∈ R: х + (-х) = 0 (существование в R
         (кроме деления на нуль), причем сложение и
                                                             противоположного элемента).
         умножение подчиняются коммутативному и
         ассоциативному законам, а умножение - еще и
                                                                                  Аксиомы умножения
         дистрибутивному        закону      относительного
         сложения.
                                                                    А5: ∀х, у ∈ R \ [0]: х • у = у • х (коммутативный
      Определение 11. Числа, которые нельзя представить
                                        p                    закон).
в виде отношения двух целых чисел         , p ∈Z, n ∈ N,            А6: ∀х, у, z ∈ R \ [0]: х • (у • z) = (х • y) • z
                                       n
                                                             (ассоциативный закон)
называются иррациональными.

Страницы