Составители:
Рубрика:
21
в тексте этого параграфа означает малое приращение величины стоящей за
ним); теперь приложим к телу все силы P
1
, P
2
, …, P
n
; в точке m возникнет
перемещение Δ
m
и сила dP
m
произведет работу dP
m
Δ
m
; потенциальная
энергия деформации тела возрастет на величину ΔU, которую можно
определить следующим образом:
ΔU = dP
m
Δ
m
+ 0,5 dP
m
d
~
Δ
m
. (p)
Полная потенциальная энергия деформации тела при втором
нагружении может быть представлена суммой
U
II
= U(P
1
, P
2
, …, P
n
) + dP
m
Δ
m
+ 0,5 dP
m
d
~
Δ
m
. (q)
Так как для линейно-упругих тел количество работы не зависит от
порядка приложения внешних сил к телу, то изменение внутренней
энергии U
I
= U
II
и, следовательно,
U(P
1
, P
2
, …, P
n
) +
m
P
U
dP
m
= U(P
1
, P
2
, …, P
n
) + dP
m
Δ
m
+ 0,5 dP
m
d
~
Δ
m
. (r)
Из соотношения (r) следует:
m
P
U
dP
m
= dP
m
Δ
m
+ 0,5 dP
m
d
~
Δ
m
. (s)
Второе слагаемое в правой части (s) величина более высокого
порядка малости по сравнению с остальными слагаемыми, поэтому его
можно отбросить; тогда теорема Кастильяно примет вид:
m
P
U
m
Δ
. (2.18)
Словесная формулировка теоремы Кастильяно: обобщенное
перемещение точки m линейно-упругого тела, закрепленного в
пространстве и нагруженного статически приложенными внешними
силами, по направлению силы P
m
равно частной производной от
потенциальной энергии тела по этой обобщенной силе.
Приводим еще одно доказательство теоремы Кастильяно.
По обобщенному закону Гука
n
1j
j
P
kj
δ
k
Δ
; подставляем
выражение
k
в выражение теоремы Клапейрона (15):
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- …
- следующая ›
- последняя »
