Метасистемный подход в управлении: Монография. Миронов С.В - 125 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

125
вой части управляющего воздействия – u(X,t). Самостоятельность метаси-
стемы выражается не только в появлении управляющих воздействий, но и в
другой величине плотности вероятности, которая отражает вероятность при-
ближения риска аварии к недопустимой границе – ω
1
. Таким образом, урав-
нение (2) преобразуется к следующему виду:
)t,X(u)t(f
X
2
)t,X(b
X
)t,X(a
t
2
1
2
11
+=
∂
ω∂
−
∂
ω∂
+
∂
ω∂
, (8.3)
Принимая, что оба процесса подвергаются одинаковым возмущениям, и
подставляя сюда вместо f(t) его выражение из уравнения (2), после приведе-
ния подобных членов, получаем:
)t,X(u
X
)(
2
)t,X(b
X
)(
)t,X(a
t
)(
2
1
2
11
=
∂
ω−ω∂
−
∂
ω−ω∂
+
∂
ω−ω∂
. (8.4)
Используя (1) преобразуем уравнение (4) к следующему виду
)t,X(u
X
s
2
)t,X(b
X
s
)t,X(a
t
s
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
. (8.5)
Теперь можно сформулировать задачу оптимизации.
В качестве критерия оптимальности можно было бы принять сумму по-
терь от малой разности двух вероятностей и затрат на рискоснижающие ме-
роприятия, которые можно оценивать в соответствии с /115/ с помощью вир-
туальной работы управляющих воздействий:
() ( )
τ
πσ
τ=σ
∫∫
∞−
σ
−
∞
∞−
dXde
2
1
,XuA
t
2
X
2
2
(8.6)
В данном случае принят закон распределения Гаусса с дисперсией σ для
вероятности отклонения потребности от среднего значения. Однако в этом
случае приходим к вырожденным уравнениям Эйлера, которые не позволяют
определить минимум.
Примем в соответствии с теорией аналитического конструирования оп-
тимальных регуляторов, предложенной профессором Летовым А.М. /116/, в
качестве критерия оптимальности сумму квадратов потерь, зависящих от раз-
ности вероятностей (1) и затрат управляющих воздействий:
mindt)qsu(F
→−=
∫
τ
0
22
(8.7)
где
q – размерный коэффициент.
В такой постановке задача оптимизации включает критерий (8.7), урав-
нение (8.5) с соответствующим начальным и граничными значениями, иг-
рающее роль некоторых условий обязательных к выполнению. Кроме того, в
зависимости от времени начала рискоснижающих мероприятий по отноше-
нию к возникающей возможности повышения опасности, меняется интен-
сивность проведения этих мероприятий и соответственно затраты на управ-
вой части управляющего воздействия – u(X,t). Самостоятельность метаси-
стемы выражается не только в появлении управляющих воздействий, но и в
другой величине плотности вероятности, которая отражает вероятность при-
ближения риска аварии к недопустимой границе – ω1. Таким образом, урав-
нение (2) преобразуется к следующему виду:
                   ∂ω1                ∂ω1 b(X, t ) ∂ 2 ω1
                         + a ( X, t )      −               = f ( t ) + u ( X, t ) ,        (8.3)
                    ∂t                ∂X        2 ∂X 2
     Принимая, что оба процесса подвергаются одинаковым возмущениям, и
подставляя сюда вместо f(t) его выражение из уравнения (2), после приведе-
ния подобных членов, получаем:
             ∂ (ω − ω1 )              ∂ (ω − ω1 ) b(X, t ) ∂ 2 (ω − ω1 )
                         + a ( X, t )            −                          = u (X, t ) . (8.4)
                 ∂t                       ∂X         2          ∂X 2
     Используя (1) преобразуем уравнение (4) к следующему виду
                          ∂s               ∂s b(X, t ) ∂ 2s
                              + a ( X, t )    −                = u ( X, t ) .             (8.5)
                          ∂t               ∂X      2 ∂X 2
     Теперь можно сформулировать задачу оптимизации.
     В качестве критерия оптимальности можно было бы принять сумму по-
терь от малой разности двух вероятностей и затрат на рискоснижающие ме-
роприятия, которые можно оценивать в соответствии с /115/ с помощью вир-
туальной работы управляющих воздействий:
                                                                 X2
                                       t   ∞                 −
                                                      1          2σ 2
                             A(σ ) =   ∫ ∫ u (X, τ) σ 2π e              dXdτ            (8.6)
                                       −∞ −∞
    В данном случае принят закон распределения Гаусса с дисперсией σ для
вероятности отклонения потребности от среднего значения. Однако в этом
случае приходим к вырожденным уравнениям Эйлера, которые не позволяют
определить минимум.
    Примем в соответствии с теорией аналитического конструирования оп-
тимальных регуляторов, предложенной профессором Летовым А.М. /116/, в
качестве критерия оптимальности сумму квадратов потерь, зависящих от раз-
ности вероятностей (1) и затрат управляющих воздействий:
                                   τ
                               F = ∫ (u 2 − qs 2 )dt → min                             (8.7)
                                   0
    где q – размерный коэффициент.
    В такой постановке задача оптимизации включает критерий (8.7), урав-
нение (8.5) с соответствующим начальным и граничными значениями, иг-
рающее роль некоторых условий обязательных к выполнению. Кроме того, в
зависимости от времени начала рискоснижающих мероприятий по отноше-
нию к возникающей возможности повышения опасности, меняется интен-
сивность проведения этих мероприятий и соответственно затраты на управ-
125

Страницы