Метасистемный подход в управлении: Монография. Миронов С.В - 126 стр.

ление. Это означает, что имеет место задача с подвижной верхней границей,
а, значит, на этой границе должно выполняться условие трансверсальности
экстремалей функционала (8.7) кривой, по которой скользит верхняя грани-
ца.
     Таким образом, сформулированная задача позволяет определить опти-
мальный закон изменения управляющих воздействий, направляемых на под-
держание вероятности повышения опасности на приемлемом уровне во вре-
мени и в зависимости от изменения внешних условий.
     Данная задача оптимизации относится к классу задач на условный экс-
тремум и сводится к классическому случаю с помощью одного множителя
Лагранжа λ:
                   τ
                                  ds      ∂s b ∂ 2 s          
              F1 = ∫ (u − qs + λ + a
                       2    2
                                                +         − u )dt → min (8.8).
                   0              dt      ∂x      2 ∂x 2
                                                               
     Для нахождения экстремалей данного функционала составляем три
уравнения Эйлера:
                                   ∂f     d ∂f
                                       −         = 0;
                                   ∂s dt ∂s&
                                   ∂f     d ∂f
                                       −          = 0;
                                   ∂u dt ∂u&
                                    ∂f     d ∂f
                                        −          =0                      (8.9)
                                    ∂λ dt ∂λ&
     где f – подынтегральное выражение функционала (8.8). Здесь точка
сверху символа означает производную по времени.
     Выполняя дифференцирование, имеем:
                                            dλ
                                  − 2qs −        = 0;
                                             dt
                                  2u + λ = 0;
                              ds      ∂s b ∂ 2 s
                                  +a +                     − u = 0; (8.10)
                              dt      ∂x 2 ∂x 2
     Сюда же добавляем условия трансверсальности на подвижной верхней
границе функционала /117/
                               ( f + (ϕ& − s&) f s&' ) |t =τ = 0    (8.11)
     где φ - уравнение кривой, по которой скользит верхний предел функ-
ционала. Здесь штрих сверху символа означает дифференцирование по
параметру, приведенному в качестве нижнего индекса.
     Для использования этого условия необходимо знать зависимость разно-
сти вероятностей s от интенсивности проведения рискоснижающих меро-
приятий. Очевидно, что чем выше эта интенсивность (обусловленная резким
изменением условий) тем больше вероятность того, что подготовительные
мероприятия в срок не завершатся. Поэтому примем указанную зависимость
в первом приближении линейной.


126