Метасистемный подход в управлении: Монография. Миронов С.В - 211 стр.

                    H ( f ( x ) | x ∈ X ) = H ( x ) = − ∑ f ( x )log 2 f ( x ) .   (В.37)
                                                        x∈X
     Обычно функцию (В.37) называют шенноновской энтропией. Она изме-
ряет нечеткость в единицах, называемых битами.
     Рассмотрим теперь порождающую нечеткость в системах, описываемых
с помощью функций распределения возможностей. Пусть П – это множество
всех распределений возможностей, имеющих по крайней мере одно ненуле-
вое значение, которые можно определить на конечных множествах альтерна-
тивных исходов. Тогда возможностная мера нечеткости представляет собой
функцию
                                 U : П → [0, ∞ ] ,                (В.48)
обладающую определенными свойствами. Прежде чем рассматривать эти
свойства, нужно сначала ввести некоторые понятия, связанные с распределе-
ниями возможностей.
     1 Распределение возможностей
                              f = (ϕ | i ∈ N | X | )∈ П ,          (В.51)
     определенное на конечном множестве X альтернативных исходов x на-
зывается нормализованным распределением возможностей тогда и только
тогда, когда
                                    max ϕ i = 1 ;                  (В.52)
                                               i
понятно, что ϕ i = f (x) для некоторого взаимнооднозначного соответствия
между N|X| и X.
    2 Пусть для любого распределения возможностей f, например для рас-
пределения, определенного в (49), и для любого действительного l ∈ [0,1]
                                 c : П × [0,1] → P( N )               (В.53)
такая функция, что
                             c( f , l ) = {i ∈ N X | ϕ i ≥ l} .       (В.54)
Эта функция называется функцией l-уровня, а множество c( f , l ) - множеством
l- уровня от f.
     3 Для заданного распределения возможностей (49) назовем

                       L f = {l | ( Ei ∈ N X )(ϕ i = l ) или l = 0 }               (В.55)
уровневым множеством для f. Обозначим через
                           L f = {l1 , l2 ,..., lq }
уровневое множество для f, где l1=0, q = L f , причем из i < j следует, что
li < l j . Пусть для удобства
                                      l f = max ϕ i .
                                               i
Понятно, что l f = lq ∈ L f . Кроме того, l f = 1 тогда и только тогда, когда f яв-
ляется нормализованным распределением возможностей.
    4 Для любого m ∈ N пусть

211