Метасистемный подход в управлении: Монография. Миронов С.В - 273 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

273
обобщенной системы. Чем ближе несмещенная реконструкция к истинной
(заданной) системе, тем лучше гипотеза.
В общем случае близость двух сопоставимых систем с поведением мо-
жет быть выражена через метрическое расстояние между их функциями по-
ведения. Существует много разных типов метрических расстояний. Так, на-
пример, класс расстояний Минковского определяется следующей формулой:
∑
∈
−=
Cc
p/hh
p
,|)c(f)c(f|[)f,f(
1
δ
(Г.39)
где
f, f
h
- соответственно функция поведения заданной системы и несмещен-
ная реконструкция по гипотезе h, a
N
p
∈
- параметр функций расстояния.
При
р = 1- это расстояние Хэмминга, при p = 2 - Евклида, при р = ∞ - верхняя
граница расстояний.
Расстояния по Минковскому вычисляют по точечным разностям
|)c(f)c(f|
h
−
распределение вероятностей или возможностей в соответствии с формулой
(Г.39) . Несмотря на то, что поточечное описание близости
f и f
h
полезно для
многих приложений, теоретически оно недостаточно хорошо обосновано.
Более обосновано рассматривать близость как разности информации, содер-
жащейся в
h относительно f, или, другими словами, как потерю информации
при замене
f на h (на множество проекций f ).
Меру подобной потери информации будем называть информационным
расстоянием и обозначать
D(f, f
h
)- Для вероятностных систем она задается
хорошо известной формулой
∑
∈
=
Cc
h
h
,
)c(f
)c(f
log)c(f
|C|log
)f,f(D
2
2
1
(Г.40)
где константа l/log
2
|C| — нормирующий коэффициент, обеспечивающий вы-
полнение соотношения
0 ≤
D(f, f
h
) ≤ 1.
Поскольку, если
f
h
(с) = 0, то f(с) = 0, вероятностное информационное
расстояние определено всегда. Это, однако, не метрическое расстояние, так
как оно асимметрично, более того,
D(f
h
, f) может быть не определено для не-
которых
f и f
h
[когда f
h
(с) > 0 и f (c) = 0 для некоторого с
∈
С].
При применении вероятностного расстояния к порождающей системе с
поведением уравнение (Г.40) приобретает следующий вид:
.
)g|g(f
)g|g(f
log)g|g(f)g(f
|G|log
)f,f(D
h
GgGg
h
G
∑∑
∈∈
=
2
1
(Г.41)
Модификация уравнений (Г.40) и (Г.41) для направленных систем с по-
ведением очевидна.
Для возможностных систем информационное расстояние рассчитывает-
ся по формуле
∫
=
1
0
2
2
1
)l,f(c
)l,f(c|
log
|C|log
)f,f(D
h
h
, (Г.42) 
обобщенной системы. Чем ближе несмещенная реконструкция к истинной
(заданной) системе, тем лучше гипотеза.
     В общем случае близость двух сопоставимых систем с поведением мо-
жет быть выражена через метрическое расстояние между их функциями по-
ведения. Существует много разных типов метрических расстояний. Так, на-
пример, класс расстояний Минковского определяется следующей формулой:
                         δ p ( f , f h ) = [ ∑ | f ( c ) − f h ( c ) |1 / p , (Г.39)
                                             c∈C
        h
где f, f - соответственно функция поведения заданной системы и несмещен-
ная реконструкция по гипотезе h, a p ∈ N - параметр функций расстояния.
При р = 1- это расстояние Хэмминга, при p = 2 - Евклида, при р = ∞ - верхняя
граница расстояний.
     Расстояния по Минковскому вычисляют по точечным разностям
                                         | f ( c ) − f h( c )|
распределение вероятностей или возможностей в соответствии с формулой
(Г.39) . Несмотря на то, что поточечное описание близости f и f h полезно для
многих приложений, теоретически оно недостаточно хорошо обосновано.
Более обосновано рассматривать близость как разности информации, содер-
жащейся в h относительно f, или, другими словами, как потерю информации
при замене f на h (на множество проекций f ).
     Меру подобной потери информации будем называть информационным
расстоянием и обозначать D(f, f h)- Для вероятностных систем она задается
хорошо известной формулой
                                           1                         f(c)
                      D( f , f h ) =               ∑
                                      log 2 | C | c∈C
                                                       f ( c ) log 2 h
                                                                    f (c)
                                                                           ,         (Г.40)

где константа l/log2|C| — нормирующий коэффициент, обеспечивающий вы-
полнение соотношения
                                        0 ≤ D(f, f h) ≤ 1.
     Поскольку, если f h(с) = 0, то f(с) = 0, вероятностное информационное
расстояние определено всегда. Это, однако, не метрическое расстояние, так
как оно асимметрично, более того, D(f h, f) может быть не определено для не-
которых f и f h [когда f h(с) > 0 и f (c) = 0 для некоторого с ∈ С].
     При применении вероятностного расстояния к порождающей системе с
поведением уравнение (Г.40) приобретает следующий вид:
                                   1                                       f(g|g )
              DG ( f , f h ) =             ∑
                               log 2 | G | g∈G
                                                f ( g )∑ f ( g | g ) log h
                                                       g∈G                f (g|g)
                                                                                   .  (Г.41)


     Модификация уравнений (Г.40) и (Г.41) для направленных систем с по-
ведением очевидна.
     Для возможностных систем информационное расстояние рассчитывает-
ся по формуле
                                     1       1
                                                    | c( f h ,l )
                    D( f , f ) =             ∫ log 2 c( f ,l ) ,
                            h
                                                                  (Г.42)
                                 log 2 | C | 0

273

Страницы