ВУЗ:
Составители:
52
Далее увеличивают число интервалов разбиения отрезка интегрирова-
ния в два раза, т.е. k=2n, и повторяют расчет:
k
ab
x
−
=Δ
2
.
При условии |y
n
-y
k
| < ε, где ε - заданная точность расчета, расчет закан-
чивается.
4.6.2. Метод Рунге-Кутты четвертого порядка
Этот метод является в настоящее время наиболее употребительным в
вычислительной практике для решения обыкновенных дифференциальных
уравнений.
Его алгоритм следующий:
h=(b-a)/n;
k
1
=h
⋅
f(x
i
,y
i
);
k
2
=h
⋅
f(x
i
+h/2, y
i
+k
1
/2);
k
3
=h
⋅
f(x
i
+h/2, y
i
+k
2
/2);
k
4
=h
⋅
f(x
i
+h, y
i
+k
3
);
y
i+1
=y
i
+(k
1
+2k
2
+2k
3
+k
4
)/6.
Метод Рунге-Кутты имеет порядок точности h
4
на всем отрезке интег-
рирования. Оценка точности метода достаточно затруднительна. Грубую
оценку погрешности можно получить с помощью "двойного просчета" по
формуле
()
,
15
*
*
ii
ii
yy
xyy
−
≈−
где y(x
i
) – значение точного решения уравнения в точке x
i
;
y
i
*
и y
i
– приближенные значения, полученные с шагом h/2 и h.
Если ε - заданная точность решения, то число разбиений n для определе-
ния шага интегрирования выбирается так, чтобы h
4
<ε. Однако шаг можно
менять при переходе от одной точки к другой. Для оценки правильности вы-
бора шага используется равенство
,
24
32
ii
ii
kk
kk
q
−
−
=
где порядок q должно быть равен 10
-2
, в противном случае шаг необходимо
уменьшить.
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
также решаются методом Рунге-Кутты 4-го порядка. Например, для системы
из двух дифференциальных уравнений
y'=f(x,y,z);
z'=g(x,y,z).
Алгоритм расчета:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- …
- следующая ›
- последняя »
