ВУЗ:
Составители:
55
Рассмотрим один из разностных методов – метод конечных разностей.
4.8.2. Метод конечных разностей
Одним из наиболее простых методов решения линейной краевой задачи
(4.3), (4.4) является сведение ее к системе конечно-разностных уравнений.
Разобьем отрезок
[
]
ba, на n равных частей длиной h (шаг),
nabh )(
−
=
.
Обозначим точки деления отрезка
[
]
ba,:
),( ),( ),( , , ,
00 iiiiiiin
xffxqqxpphixxbxax =
=
=
⋅
+
===
)( ),( ),(
iiiiii
xyyxyyxyy
′
′
=
′
′
′
=
′
=
,
где )1(,...,1 −= ni .
Заменим приближенно в каждой внутренней точке
i
x
отрезка
[]
ba, про-
изводные
i
y
′
и
i
y
′′
конечно-разностными отношениями
,
2
,
2
121
h
yyy
y
h
yy
y
iii
i
ii
i
+
−
=
′′
−
=
′
+++
(4.5)
где )1(,...,1 −= ni .
Для граничных точек
ax
=
0
и
bx
n
=
положим
;
01
0
h
yy
y
−
=
′
и
.
1
h
yy
y
nn
n
−
−
=
′
(4.6)
Используя формулы (4.5) и (4.6), приближенно заменим уравнение (4.3)
и краевые условия (4.4) системой n + 1 линейных алгебраических уравнений
с n + 1 неизвестными
n
yyyy ,...,,,
210
, представляющими собой значения ис-
комой функции )(
x
y
y
=
в точках
n
xxxx ,...,,,
210
:
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
=−β+β
=−α+α
=+
−
+
+−
−
+++
,/)(
,/)(
,
2
110
01100
i
1
2
12
Bhyyy
Ahyyy
fyq
h
yy
p
h
yyy
nnn
ii
ii
i
iii
(4.7)
где )1(,...,1 −= ni .
Если данная система имеет решение, получим таблицу приближенных
значений искомой функции )(
x
y
y
=
.
На практике часто производные
i
y
′
и
i
y
′
′
во внутренних точках
i
x
отрез-
ка
[]
ba, заменяют центрально-разностными отношениями
,
2
,
2
2
1111
h
yyy
y
h
yy
y
iii
i
ii
i
−+−+
+
−
=
′′
−
=
′
(4.8)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- …
- следующая ›
- последняя »
