Составители:
Рубрика:
17
1.2. Применение вариационного исчисления
Методы Ферма и Лагранжа позволяют аналитически решать ко+
нечномерные экстремальные задачи, когда критерий зависит от ко+
нечного числа неизвестных. Более трудны для решения бесконечно+
мерные экстремальные задачи, когда критерий зависит от неизвест+
ной функции f(x). Такие задачи решают методами вариационного
исчисления.
Простейшая задача вариационного исчисления формулируется
следующим образом. Требуется найти кривую y = f(x), проходящую
через две заданные точки A(x
1
, y
1
), В(x
2
, y
2
) и доставляющую экстре+
мум функционалу
2
1
(, , ) .
x
x
JFxyydx
1
2
3
(1)
Эйлер доказал, что искомая кривая удовлетворяет уравнению
d
0,
d
y
y
FF
x
11
2 3
(2)
где через
y
F
1
и
y
F
1
обозначены частные производные от подынтеграль+
ной функции
12 12
,, , ,, .
y
y
FFxyyF Fxyy
yy
33
444 4
55
4
33
Уравнение Эйлера (2) представляет собой нелинейное дифферен+
циальное уравнение второго порядка, семейство решений которого
содержит экстремальную кривую y = f(x).
Следует заметить, что уравнение Эйлера не дает окончательного
решения поставленной задачи, а лишь выделяет класс кривых, по+
дозрительных на экстремум. Ситуация здесь вполне аналогична по+
иску экстремума функции путем ее дифференцирования, когда экст+
ремум может оказаться либо в одной из точек, где производная равна
нулю, либо на краях интервала.
Общее решение уравнения (2) зависит от двух произвольных по+
стоянных y = f(x, C
1
, C
2
) и задает двухпараметрическое семейство
экстремалей. Для определения постоянных C
1
, C
2
и выделения из
семейства экстремалей одной кривой – решения исходной задачи –
используют краевые условия
11 22
() ;() .fx y fx y11
В простейшей задаче вариационного исчисления левая и правая
точки искомой кривой фиксированы. В общем случае эти точки мо+
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- …
- следующая ›
- последняя »
