Составители:
Рубрика:
19
чить непосредственно по формулам (3), подставляя в них
2
1Fy
1
2 3
(сделайте это), однако проще поступить следующим образом. Обо+
значим концы произвольного отрезка АВ, соединяющего эти кривые,
через A(x
1
, y
1
), В(x
2
, y
2
). Координаты точек А, В должны удовлетво+
рять условиям
y
1
= j(x
1
); у
2
= y(x
2
). (4)
Нам нужно из всех возможных отрезков АВ выбрать самый корот+
кий, для которого квадрат расстояния
22
21 21
()()Jxx yy12 32
мини+
мален. Дифференцируем критерий по x
1
и x
2
и выписываем условия
экстремума
12
0, 0.
xx
JJ
11
22
Учитывая, что согласно формулам (4)
1122
12
1212
(), 0, 0, (),
yyyy
xx
xxxx
1111
22
34 3 3 35
1111
получаем
21 21 1
21 21 2
( )( ) ()0,
()()()0.
xx yy x
xx yy x
1
23245 6
1
23247 6
(5)
Это и есть условия трансверсальности для данной задачи. Из них,
в частности, следует, что экстремальная прямая должна быть одно+
временно ортогональна обеим кривым j(x) и y(x).
Пример 3. Определим минимальное расстояние между пара+
болой и окружностью из примера 2 вариационными средствами.
Решением уравнения Эйлера для этого случая является отрезок
прямой
.ykxb1 2
(6)
Найдем условия трансверсальности для обоих концов отрезка.
Уравнение параболы имеет вид
2
() 2 3 0,xx x12342
следовательно
11 11 22
()2 2, , .xx ykxbykxb
1
2 34 34 34
Подставляем эти выражения в первое из уравнений (5):
1
2
1
2
1
2
21 21 1 1
2202 210.xx kxx x kx k34 3 456 445
Это условие трансверсальности для левого конца отрезка, лежа+
щего на параболе.
Чтобы найти аналогичное условие для правого конца, выписыва+
ем уравнение окружности и дифференцируем его:
1212 1212
22
5
524;25220 ().
2
x
xy x yyy x
y
3
44 4
3536 35 3 6763 68
3
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »
