Составители:
Рубрика:
60
После вычисления интегралов получаем систему из n нелинейных
алгебраических уравнений с n неизвестными t
1
, ..., t
n1
, c. Решить та
кую систему значительно сложнее, чем в предыдущем случае, однако
получаемое управление обладает двумя замечательными свойствами.
Вопервых, это управление будет иметь минимально возможную ам
плитуду среди всех возможных управлений. Другими словами, полу
ченное управление будет обладать минимальной чебышевской нормой
0T
() max () min.
t
ut ut1 2
Вовторых, для систем nго порядка с вещественными корнями
характеристического полинома число переключений будет не более,
чем n–1. Это следует из знаменитой теоремы Фельдбаума об n интер
валах.
1.3. Управление с минимальной энергией
Недостатком двух предыдущих вариантов параметризации было на
личие скачков в управляющем сигнале, а также повышенные энергети
ческие затраты на управление. Чтобы избежать этих недостатков, по
ставим задачу отыскания управления с минимальной энергией.
Энергию управляющего сигнала будем оценивать по формуле
T
2
2
2
0
() ( (), ()) d.Eut utut ut11 1
2
(4)
Рассматривая величину Е как минимизируемый функционал, а
равенства (3) как ограничения, получаем задачу на условный экстре
мум.
Для ее решения строим функцию Лангранжа
L = (u, u) + l
1
((f
1
, u) – m
1
) + ... + l
n
((f
n
, u) – m
n
)
и дифференцируем ее по u:
11
2 ... 0.
unn
Luf f
1
2 3 4 334 2
Отсюда получаем следующее выражение для функции u:
u(t) = c
1
f
1
(t)+ ... +c
n
f
n
(t), (5)
где с
i
= – l
i
/2 – постоянные коэффициенты, подлежащие определе
нию.
Таким образом, оптимальное управление, обладающее минималь
ной энергией, должно быть линейной комбинацией весовых функций
q
1
(t), ..., q
n
(t) управляемой системы (1), взятых в обратном времени.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- …
- следующая ›
- последняя »
