Составители:
33
2. ПРИМЕНЕНИЕ ЖОРДАНОВЫХ ЦЕПОЧЕК ВЕКТОРОВ
ПРИ РЕШЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
И РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
2.1. Корневые векторы и циклические пространства
Понятие собственных векторов является одним из центральных в
линейной алгебре и находит многочисленные применения во многих
областях математики, физики и других естественных наук. Они ис!
пользуются при решении линейных дифференциальных и разностных
уравнений, при синтезе регуляторов в теории управления, при расче!
те форм упругих механических конструкций (балок, мостов, лета!
тельных аппаратов).
Процедуры вычисления собственных чисел и собственных векто!
ров входят в состав всех профессиональных математических паке!
тов, таких как MATHCAD, MATLAB, MAPLE и т. д.
В линейной алгебре собственные векторы матрицы А вводятся как
решения уравнения
AH H
iii
1 2
, где
i
1
– собственные числа матрицы.
Если все собственные числа различны, то матрица обладает полной
системой собственных векторов, из которых может быть составлен
базис пространства. В этом случае матрица А может быть приведена
преобразованием подобия к диагональному виду.
Ситуация осложняется, если среди собственных чисел матрицы
имеются кратные. В этом случае число собственных векторов может
быть меньше размерности пространства. Чтобы сформировать базис
пространства, к ним приходится добавлять дополнительные векто!
ры, которые называются обобщенными собственными или корневы!
ми векторами. Жорданова каноническая форма матрицы в этом слу!
чае имеет уже не диагональный, а клеточно!диагональный вид.
Процедуры вычисления размеров этих клеток и соответствующих
им корневых векторов достаточно сложны и плохо обусловлены. По
этой причине они отсутствуют во многих математических пакетах, в
том числе в таком мощном пакете, как MATLAB.
В то же время необходимость в их вычислении возникает при ре!
шении ряда задач. Например, известная форма записи общего реше!
ния системы дифференциальных уравнений
XAX1
1
:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- …
- следующая ›
- последняя »
