Составители:
34
1
11
X( ) H H ,
n
t
t
nn
tc e c e1 221
где
,H
ii
1
– собственные числа и собственные векторы матрицы А,
справедлива только для матриц А с попарно различными собствен!
ными числами.
Возникает вопрос об обобщении этой формулы на случай кратных
собственных чисел. Очевидно, что оно потребует введения корневых
векторов и построения жордановых цепочек векторов, зависящих от
начальных условий системы. Аналогичный вопрос относится к систе!
мам разностных уравнений вида
1
XAX
kk
1 и формулам (1.17), (1.18).
Ниже дается ответ на оба эти вопроса и выводятся формулы для
решения дифференциальных и разностных уравнений для матрицы
А с собственными числами произвольной кратности в терминах кор!
невых векторов. Сначала изложим необходимые математические све!
дения, в частности дадим определения минимальных многочленов
вектора, корневых векторов и жордановых цепочек векторов.
Минимальный многочлен вектора
Пусть дана матрица А. Возьмем произвольный вектор b и соста!
вим ряд векторов b, Ab, A
2
b, ... . Пусть m – наименьшее число, при
котором очередной вектор будет линейно зависим от предыдущих
12
12 0
Ab A b A b b.
mm m
mm
1 23 2 3 2 2 31
(2.1)
Вводя многочлен
1
10
()
mm
m
1 2 3 2 4 5 2 4451
, это равенство мож!
но переписать так:
(A)b 0.1 2 (2.2)
Всякий многочлен ()1 2 , для которого имеет место равенство (2.2),
называется аннулирующим для вектора b (относительно оператора
А). Из всех аннулирующих многочленов для вектора b построенный
нами многочлен имеет наименьшую степень со старшим коэффици!
ентом 1. Он называется минимальным аннулирующим многочленом
вектора b или просто минимальным многочленом вектора b.
В теории управления матрица
1
R [b, Ab, ..., A b]
n
1
известна как
матрица управляемости системы XAXb.u1 2
1
Число m совпадает с ее
рангом rank R = m и называется индексом управляемости системы.
Если rank R < n, где n – размер матрицы А, то система будет неуправля!
емой – это известный критерий неуправляемости Калмана.
С помощью произвольного входного сигнала u(t) такую систему
можно вывести из состояния покоя, но она будет двигаться только в
m!мерном подпространстве n!мерного пространства состояний. Оно
называется подпространством управляемости.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- …
- следующая ›
- последняя »
