Моделирование разностных уравнений. Мироновский Л.А. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

36
порождающим вектором b. Для этого вектора многочлен j(l) = (l – l
1
)
k
будет минимальным многочленом.
Рассмотрим векторы
b
1
= (A – l
1
E)
k–1
b, b
2
= (A – l
1
E)
k–2
b, ..., b
k
= b.
Умножая их на A – l
1
E и учитывая, что (A – l
1
E)
k
b = 0, получаем
цепочку равенств:
(A – l
1
E)b
1
= 0, (A – l
1
E)b
2
= = b
1
, ..., (A – l
1
E)b
k
= b
k–1
,
или
A b
1
= l
1
b
1
, A b
2
= l
1
b
2
+ b
1
, ..., A b
k
= l
1
b
k
+ b
k–1
. (2.3)
Линейно независимые векторы b
1
, b
2
, ..., b
k
= b образуют цепочку
векторов, которая называется жордановой. В совокупности все жор!
дановы цепочки матрицы А образуют жорданов базис в R
n
.
Корневые векторы
Векторы жордановой цепочки принадлежат множеству так назы!
ваемых корневых векторов.
Определение [7, с. 147]. Вектор Н называется корневым век3
тором матрицы А, принадлежащим ее собственному числу l, если
12
AEH0.
k
34 5
Наименьшее число k, при котором выполняется это равенство,
называется высотой корневого вектора.
Заметим, что при k = 1 получаем обычное определение собственно!
го вектора матрицы. Таким образом, понятие корневого вектора обоб!
щает понятие собственного вектора в случае кратных собственных
чисел.
Векторы жордановой цепочки – это совокупность корневых век!
торов различной высоты (от 1 до k включительно), получаемых на
основе одного порождающего вектора путем его последовательного
умножения на матрицу
0
AAE.1 2 3
Разным порождающим векторам будут отвечать разные жордано!
вы цепочки, заканчивающиеся, однако, одним и тем же собственным
вектором b
1
(с точностью до скалярного множителя).
Перечислим некоторые свойства корневых векторов.
1. Корневые векторы высоты k образуют линейное пространство
размерности k – инвариантное подпространство матрицы А.
2. Умножение корневого вектора высоты k > 1 на матри!
цу
0
AAE1 2 3 уменьшает его высоту на 1.
3. Следующие операции не меняют высоты корневого вектора:
– умножение на число;

Страницы