Составители:
37
– умножение на матрицу А;
– добавление линейной комбинации корневых векторов меньшей
высоты.
Отметим, что в некоторых книгах по линейной алгебре вместо на!
звания “корневой вектор высоты k” используется термин “обобщен!
ный собственный вектор ранга k”.
Опишем еще один подход к определению корневых векторов [4].
Пусть у матрицы А собственному числу l кратности два отвечает
единственный собственный вектор Н,
так что АН = lН. Предположим, что в
результате малой вариации матрицы А
получается матрица А
1
с близкими соб!
ственными числами l и l + e, которым
отвечают близкие собственные векторы
Н и Н + dG (рис. 2.1). Здесь e и d – вели!
чины одного порядка малости. Пред!
ставляется разумным в качестве обоб!
щенного собственного вектора матрицы
А взять вектор G, вернее тот вектор, к
которому он стремится в пределе при
0.12
Чтобы получить уравнение для этого вектора, рассмотрим равен!
ство
A
1
(H + dG) = (l + e)(Н + dG).
Раскрывая скобки, пренебрегая произведением малых величин и
учитывая равенство A
1
H = lН, получим
1
AG G H.
1
2 3 4
5
В пределе при
012
имеем
1
AA, const
1
22
3
, так как величины e
и d одного порядка малости. Таким образом, вектор G является ненуле!
вым решением уравнения (A E)G H,c1 2 3 которое при с = 1 имеет тот же
вид, что и уравнения (2.3) для векторов жордановой цепочки. Величи!
на константы с принципиальной роли не играет, поскольку обобщен!
ные собственные векторы, как и обычные собственные векторы, опреде!
ляются с точностью до произвольного коэффициента.
Пример 1. Найдем жорданову цепочку векторов матрицы
233
A023.
002
1 2
3 4
5
3 4
67
H
H+
G
G
Рис. 2.1
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- …
- следующая ›
- последняя »
