Моделирование разностных уравнений. Мироновский Л.А. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

39
2.3. Дифференциальные уравнения
и жордановы цепочки векторов
Дифференциальные уравнения с кратными корнями
В теории линейных дифференциальных уравнений для записи об
щего решения системы уравнений
0
XAX, X(0)X,11
1
(2.4)
где А – постоянная матрица размера nn1 ; X – вектор переменных,
наряду с формулой
A
0
X( ) X
t
te1
используется формула [5, 13]
1
11
X( ) H H ,
n
t
t
nn
tc e c e1 221
(2.5)
где l
i
и H
i
– собственные числа и собственные векторы матрицы А;
с
i
– произвольные постоянные, зависящие от начальных условий.
К сожалению, эта формула справедлива только для матриц А про
стой структуры, когда среди собственных чисел нет кратных. Пока
жем, как ее можно обобщить на случай кратных собственных чисел,
используя понятие жордановых цепочек векторов.
Пусть l – собственное число матрицы А кратности k. Будем искать
соответствующие ему компоненты решения в форме экспоненты
t
e
,
домноженной на полином от t степени k – 1:
21
01 2 1
X( ) H H H H ,
2! ( 1)!
k
t
k
tt
tt e
k
12
344 44
5 6
7
89
1
(2.6)
где H
i
– векторы, подлежащие определению. Факториальные коэф
фициенты введены для удобства дальнейших выкладок и принципи
альной роли не играют.
Подставим это выражение в систему (2.4). После дифференциро
вания и сокращения на множитель
t
e
получим:
21
12 1 01 1
1
01 1
HH H HH H
( 2)! ( 1)!
AH H H .
(1)!
kk
kk
k
k
tt
tt
kk
t
t
k
12
333 34333 5
67
88
9
12
5333
67
8
9
11
1
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях t в правой
и левой частях уравнения:
001 112
221 11
AH H H , AH H H , ...,
AH H H , AH H .
kkk kk
12 3 12 3
12 3 12
(2.7)

Страницы