Моделирование разностных уравнений. Мироновский Л.А. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

43
Найдя выходной сигнал для каждого из трех начальных условий
2
12 3
1
,, ,
2
at at at
xe xte x te11 1
убеждаемся, что в каждом случае он содержит только одно слагаемое.
Таким образом, использование векторов из жордановой цепочки в
качестве начальных условий позволяет выделять одни компоненты
свободного движения и подавлять другие.
Если в качестве порождающего вектора взять X
3
(0) = [1 1 1]
T
, то
картина несколько изменится:
2312
11
X (0) (A E)X (0) 1 , X (0) (A E)X (0) 0 .
00
1 2 1 2
3 4 3 4
5 67 5567 5
3 4 3 4
8 9 8 9
При этом выходные сигналы для начальных условий Х
1
(0), Х
2
(0),
Х
3
(0) будут такими:
2
12 3
;; 0,5.
at at at at at at
xe xe te xe te te112 1 22
Видно, что в первом из них отсутствуют две модальные компонен!
ты, а во втором – одна.
В принципе в качестве порождающего вектора жордановой цепоч!
ки можно брать любой корневой вектор высоты три – им является
всякий вектор с ненулевой третьей компонентой. Однако только век!
тор X(0) = [0 0 1]
T
удовлетворяет условию задачи. Он порождает це!
почку ортогональных векторов, имеющих особенно простой вид и
полезные свойства.
Определение жордановой цепочки векторов
по начальным условиям
Для того чтобы применять формулу (2.6) при решении диффе!
ренциальных уравнений, нужно уметь определять корневые век!
торы Н
0
, ..., Н
k–1
, которые зависят от начальных условий. Выше
было показано, что для систем с единственным собственным чис!
лом порождающий корневой вектор равен вектору начальных ус!
ловий Н
0
= Х
0
, а остальные векторы H
i
находятся по формулам (2.7).
В случае, когда у системы есть и простые, и кратные собственные
числа, процедура определения жордановой цепочки векторов, входя!
щих в формулу (2.6), усложняется. Теперь вектор Н
0
и другие векторы
цепочки будут зависеть не только от начальных условий системы (2.4),
но и от всей совокупности собственных векторов матрицы А.
Опишем эту процедуру подробнее, приняв для определенности, что
у матрицы А есть собственное число l
0
кратности k и n – k простых

Страницы