Составители:
44
собственных чисел l
1
, ..., l
n–k
. Тогда формула для общего решения
системы (2.4) получается объединением формул (2.5) и (2.6):
12
1
0
11
1
01 1
X( ) G G
HH H .
1!
nk
tt
nk nk
k
t
k
tce c e
t
te
k
344 4
56
4444
78
78
9
1
1
(2.10)
Здесь G
i
– собственные векторы, принадлежащие простым соб
ственным числам; H
i
– корневые векторы, принадлежащие собствен
ному числу l
0
, причем Н
k–1
– единственный собственный вектор, при
надлежащий этому собственному числу.
Постоянные c
i
и векторы H
i
зависят от начальных условий системы
и подлежат определению. Основой для этого служит соотношение
11 0
X(0) G G H ,
nk nk
cc1 22 21
(2.11)
получаемое из формулы (2.10) при t = 0.
Изложим процедуру отыскания решения (2.10) системы диффе
ренциальных уравнений (2.4) в виде следующего алгоритма.
Построение жордановой цепочки векторов
для решения системы дифференциальных уравнений
Ш а г 1. Определяются собственные векторы
1
G, , G
nk
1 матри
цы А, принадлежащие простым собственным числам.
Ш а г 2. Определяются постоянные
1
,,
nk
cc1 . Для этого обе
части соотношения (2.11) умножают на матрицу
0
A
k
, где
00
AA E1 2 3
и решают полученную систему уравнений:
1
2
0011
AX(0) A G G .
kk
nk nk
cc3441
Вводя обозначения
1
G[G, ,G ],
nk
1 1
T
1
C[, , ],
nk
cc1 1
ее можно
переписать в компактной форме
000
AGC AX.
kk
1
Число n уравнений в этой системе превышает число n – k неизвест
ных, однако количество линейно независимых уравнений равно n – k,
поэтому система имеет решение, и притом только одно.
Ш а г 3. Из соотношения (2.11) определяется неизвестный век
тор Н
0
:
0
HX(0)GC.1 2
Ш а г 4. На основе порождающего вектора Н
0
строится жорданова
цепочка векторов
100 201 102
HAH;HAH, ,H AH.
kk
11 11
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- …
- следующая ›
- последняя »
