Составители:
47
2.4. Разностные уравнения и цепочки корневых векторов
Разностные уравнения с кратными корнями
Перейдем к решению системы разностных уравнений
0
X( 1) AX( ), X(0) Xtt12 2
,
или в другой системе обозначений:
10
XAX,X
kk
1 , (2.12)
где А – постоянная матрица размера n´n; X – вектор переменных; t –
дискретное время.
Наиболее часто используется показательная форма записи реше!
ния
0
XAX,
k
k
1
однако она не всегда удобна, например, в тех случа!
ях, когда надо получить аналитические формулы для отдельных ком!
понент вектора Х.
Приведем другую форму записи решения, аналогичную формуле
(2.5) для системы дифференциальных уравнений:
111
HH,
kk
knnn
Xc c1 23 3 21
(2.13)
где l
i
, H
i
– собственные числа и собственные векторы матрицы А; c
i
–
произвольные коэффициенты.
Эта формула справедлива только для случая простых собствен!
ных чисел и задача состоит в том, чтобы обобщить ее на случай крат!
ных собственных чисел.
Пусть матрица А имеет собственное число l
0
кратности m. Будем
искать соответствующие ему компоненты решения в виде
1
01 1 0
X(HH H ).
mk
km
kk1222 31
(2.14)
После подстановки этого выражения в уравнение (2.12) и сокра!
щения на множитель l
k
, получим
12
11
01 1 0 0 1
HH(1) H(1) AHH H .
mm
mkm
kk kk
34
5555 5 6 7555
89
11
Раскроем скобки и приравняем коэффициенты при одинаковых
степенях k справа и слева:
10 1
1
20 20 1 00
0
AH H ,
AH H ( 1)H , , AH H .
mm
m
mm m i
i
m
12
12 32 4 12
5
1
(2.15)
Вводя обозначение
00
AA E,1 2 3 перепишем эти равенства в форме
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- …
- следующая ›
- последняя »
