Моделирование разностных уравнений. Мироновский Л.А. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

49
Приравняем первые столбцы в каждом из матричных равенств
(2.18):
1
120 10
H , HB , , HB ,
m
m
hlh l h l11 11
или в матричной форме
h = HB
1
,
где
1
110 1100
[ , , ], H [H , , H ], B [ , B , , B ].
m
mm
hh h l l l11 111 1
Отбросив в матрице В
1
первую строку (она нулевая), а в матри
це Н – первый столбец (вектор Н
0
), получим систему уравнений
11112
[ , , ] [H , , H ]B ,
mm
hh111
(2.19)
где В
2
– нижнетреугольная матрица размера (m – 1) ´ (m – 1).
Из системы (2.19) легко последовательно определить все векторы
H
i
, начиная с вектора H
m–1
(он с точностью до масштабного множи
теля будет совпадать с собственным вектором матрицы А). Тем са
мым векторы H
i
окажутся выраженными через векторы h
i
с помощью
формулы вида
1111
[H , , H ] [ , , ]D.
mm
hh111 (2.20)
Здесь D – нижнетреугольная матрица, ее элементы постоянны и
не зависят ни от матрицы А, ни от начальных условий системы.
Приведем матрицы D для кратности собственных чисел от m = 2 до
m = 5:
23
10
D1,D ,
11
22
12
34
55
6
34
78
4
100
11
D0,
22
111
326
12
34
34
56
34
34
34
6
34
78
5
1000
11
00
22
D.
111
0
326
111 1 1
424 424
1 2
34
5
34
34
6
34
5
34
34
55
34
78
Видно, что каждая следующая матрица получается окаймлением
предыдущей. Элементы первого столбца матрицы D описываются
формулой
1
1/
i
di1 2
, а диагональные элементы – формулой
1/ !
ii
di1
Это позволяет выписать в явном виде выражения для векторов Н
1
и
H
m–1
при произвольном m:

Страницы