Численные методы. Мирошниченко Г.П - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

10
()
(
)
0
21
cos ,
2
0,1.... 1
k
k
x
m
km
π
⋅⋅+
⎛⎞
⎜⎟
⋅
⎝⎠
−
=
=
,
экстремумы в точках
()
cos ,
0,1.... 2
ext
k
k
x
m
km
π
⋅
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
−
=
=
.
Экстремальные значения в точках
(
)
ext
k
x
равны
(
)
1
k
−
. Коэффициент перед
старшей степенью полинома
(
)
m
Tx равен
1
2
m
−
. Рассмотрим систему
полиномов
(
)
m
Tx, определяемую с помощью
(
)
m
Tx по формуле
(
)
(
)
1
2
m
mm
Tx Tx
−
⋅=
.
Эта система полиномов имеет дополнительное свойство: коэффициент при
старшей степени у полинома
(
)
m
Tx равен единице. Эти полиномы
обладают еще одним замечательным экстремальным свойством, которое
сформулируем в виде теоремы:
• Теорема:
для любого полинома
(
)
m
Px степени m и с коэффициентом перед
старшей степенью, равным 1, на интервале 11
−
≤≤ выполнено
неравенство
[]
(
)
[]
(
)
1
1,1 1,1
max max 2
m
mm
Px Tx
−
−−
≥ = .
•
То есть, полином
(
)
m
Tx наименее уклоняется от нуля на 11
−≤ ≤ по
сравнению с любыми полиномами
(
)
m
Px. Получим систему полиномов,
наименее уклоняющихся от нуля, на произвольном интервале
[]
,ab
()
() ( )
,
12
2
2
m
ab
m
mm
x
ba
Txba T
ba
−⋅
⋅
−−
⎛⎞
−⋅ ⋅
⎜⎟
−
⎝⎠
= .
Эти полиномы обладают следующими свойствами:
1.
степень полинома m
2.
коэффициент перед старшей степенью равен 1
3.
на интервале
[]
,ab уклоняется от нуля меньше чем все другие
полиномы такого типа
4.
нули этого полинома (сетка Чебышева) даются формулой (1.1)
5.
максимальное уклонение от нуля
[]
()
(
)
(
)
,
12
,
max 2
m
ab
m
m
ab
Txba
−⋅
−⋅=
.
Запрограммируем полиномы
(
)
x
Ω
(1.6), входящие в формулу оценки
погрешности интерполирования
(1.9). Для равномерной сетки

Страницы